新課程理念下高中函數(shù)教學(xué)的思考

張莉

函數(shù)是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程始終的重要思想之一。函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，包括概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)。因此，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中，如何幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，學(xué)好函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)是教學(xué)的重要任務(wù)。下面就如何進(jìn)行教學(xué)談?wù)勛约旱南敕ā?/p>

一、加強(qiáng)函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，理解函數(shù)概念

通過豐富的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，函數(shù)是刻畫日常生活和其他學(xué)科規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)占有很重要的地位。我們在任何一個(gè)生活情景中，都會(huì)發(fā)現(xiàn)許多描述規(guī)律的函數(shù)關(guān)系。在其他學(xué)科，如物理、化學(xué)、生物、地理、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，描述規(guī)律的函數(shù)關(guān)系比比皆是。例如，在物理中刻畫物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程隨著時(shí)間的變化而變化。又如，世界人口數(shù)量是隨著時(shí)間的變化而變化的。這些變量之間都有著密切的依賴關(guān)系，而且，這種變量之間的依賴關(guān)系具有一個(gè)突出的特征，即當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，依賴于這個(gè)變量的另一個(gè)變量有唯一確定的值。具有這種特征的變量之間的依賴關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在。通過這些學(xué)生熟悉的實(shí)例讓學(xué)生對函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)有了感性的認(rèn)識(shí)后，再用集合和對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)的定義，使學(xué)生形成對函數(shù)概念的理性認(rèn)識(shí)。

函數(shù)的概念決非“函數(shù)的概念”一節(jié)所能完成，在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列的教學(xué)過程中，應(yīng)始終帶有“概念教學(xué)”的意識(shí)，不斷加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。這是一個(gè)多次接觸、反復(fù)體會(huì)、螺旋上升的過程，是一個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的過程。

二、加強(qiáng)信息技術(shù)與課程的整合，研究函數(shù)性質(zhì)

高中新課程中主要研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性。由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此在教學(xué)過程中采用信息技術(shù)輔助教學(xué)可達(dá)到事半功倍的效果。例如，在課堂上用幾何畫板繪制出學(xué)生熟悉的二次函數(shù) ，首先讓學(xué)生觀察圖象并描述該圖象的變化規(guī)律；然后在函數(shù)圖象上任找一點(diǎn)P，并測出其坐標(biāo)。（1）拖動(dòng)點(diǎn)P，讓學(xué)生觀察當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)的過程中，橫坐標(biāo)px增大時(shí)，縱坐標(biāo)py的變化規(guī)律，并把這種變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語言的描述，得到單調(diào)性的數(shù)學(xué)定義。（2）作出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P/，測出坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P/也在該函數(shù)圖象上，拖動(dòng)點(diǎn)P，觀察這兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，在這基礎(chǔ)上建立奇（偶）函數(shù)的定義。

又如，正余弦函數(shù)、正切函數(shù)都是刻畫周期變化的函數(shù)模型。在教學(xué)過程中我們可以先用幾何畫板準(zhǔn)確快速地畫出三角函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察該圖象的特征，使學(xué)生在對這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律有一個(gè)形象的認(rèn)識(shí)，然后讓學(xué)生思考誘導(dǎo)公式是如何反映這種變化規(guī)律的，最后引導(dǎo)學(xué)生了解“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的代數(shù)刻畫，給出周期性的概念。

而在研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)圖象，然后再通過底數(shù)a的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化展示函數(shù)圖象的分布情況，這樣就會(huì)使學(xué)生比較容易地概括出函數(shù)性質(zhì)。

三、加強(qiáng)對基本函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)和把握，滲透模型思想

在高中階段，學(xué)生應(yīng)掌握的基本函數(shù)模型有：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、簡單的冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列，還有簡單的分段函數(shù)等等，這些都是基本的、重要的函數(shù)模型。如何讓學(xué)生把這些模型留在頭腦中，并能幫助思考問題呢？

首先，應(yīng)該把函數(shù)概念的整體理解與每一個(gè)具體的模型有機(jī)地結(jié)合起來。我們在對每一個(gè)具體函數(shù)模型教學(xué)的過程中，可以通過這些函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、變量與變量之間的依賴關(guān)系來理解函數(shù)概念。其次，把研究函數(shù)性質(zhì)的方法結(jié)合到研究這些基本函數(shù)的性質(zhì)過程中，比如可用代數(shù)和導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性等等，幫助學(xué)生熟練掌握這些基本函數(shù)的性質(zhì)，并讓每一個(gè)基本函數(shù)的圖形留在學(xué)生的頭腦中。在這基礎(chǔ)上，進(jìn)而幫助學(xué)生對這些模型進(jìn)行比較、梳理，比如我們可以通過具體的實(shí)例來比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)間的增長差異，在整個(gè)學(xué)生過程中讓學(xué)生用計(jì)算機(jī)畫出三種函數(shù)的圖象，進(jìn)行觀察、比較，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，在更高的層次上把握每個(gè)基本函數(shù)模型的特點(diǎn)。最后，幫助學(xué)生養(yǎng)成一種習(xí)慣，借助于具體的模型，思考抽象問題。在數(shù)學(xué)思維中，無論討論什么樣抽象的問題，腦子都不能空，需要有具體模型的支持，這樣才能使抽象的問題變得簡潔。

四、加強(qiáng)函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系，注重函數(shù)應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用反映在兩個(gè)方面：一方面，用函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)生活中一些簡單的實(shí)際問題；另一方面，用函數(shù)思想討論其他的數(shù)學(xué)問題。

利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面。我們在教學(xué)中可以選擇貼近學(xué)生認(rèn)知水平、貼近學(xué)生生活的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，抓住問題的實(shí)質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，利用我們熟悉的函數(shù)模型解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高分析和解決問題的能力。例如，可以用指數(shù)函數(shù)模型解決增長率問題，用等差、等比數(shù)列討論存款、貸款問題等等。

用函數(shù)討論其他數(shù)學(xué)問題，這是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要認(rèn)真思考的問題。例如，用函數(shù)討論方程的根的問題，教學(xué)中盡量讓學(xué)生對函數(shù)與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認(rèn)識(shí)的過程，因此分三步來展開這部分的內(nèi)容。第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形.第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。還可在平面解析幾何的學(xué)習(xí)中通過類比、聯(lián)想，體會(huì)直線的斜截式與一次函數(shù)的聯(lián)系；在數(shù)列的學(xué)習(xí)中體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系；在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中通過與前面函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的比較，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的一般性和有效性； 在線性規(guī)劃問題的學(xué)習(xí)中滲透函數(shù)思想，解決最優(yōu)化問題。

總之，在高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)過程中，我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)基本知識(shí)、基本技能和基本能力，同時(shí)，我們還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)整體地理解函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的地位和作用，才能更好地把握每一部分內(nèi)容，才能提高教學(xué)的效率，并幫助學(xué)生學(xué)會(huì)整體地理解函數(shù)，不斷地梳理頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。