角平分線的故事

徐建耀

角平分線是初中幾何教學中一條重要的射線，對于剛剛進入初中學習的七年級同學是個難點，由于剛剛接觸平面幾何內容，對和角平分線有關的角度計算、表達或者由角平分線構成的圖形的觀察分析產生了一定的障礙，最近筆者進行七年級上冊期末復習時經常性碰到有關角平分線的習題，學生或是無從下手或是做而不全，尤其是用字母來表示某個角度時感覺非常棘手，為此我整理了以下習題串，讓學生通過習題串的專題練習來突破這個難點，更加看清楚問題的本質，從而對這類問題有較為深刻的認識。

角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線

一、一條角平分線

（嘉興）已知∠ABC=500，在∠ABC的外側作∠CBD，BE平分∠ABD設∠CBD=m0，（00

（1）用含m的代數式表示∠EBD的度數；

（2）當m=800時，∠EBD的度數；

（3）當射線BC與BE的夾角為20度時，求m的值

解：（1）∠EBD= ∠ABD= （m+500 ）

分析：讓學生學會用字母表示角度的能力，實際上是角平分線的定義與代數式的知識內容的相結合。

二、兩條角平分線

2.（磐安）已知∠AOB=90°，∠BOC=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（1）求∠MON的度數；

（2）當∠BOC改變大小，請問∠MON度數也會改變嗎？請說明理由；

（3）當∠AOB=a，∠BOC=β，請直接寫出∠MON的大小。

解：（1）∠MON=∠MOC-∠NOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）

= ∠AOB=450

（2）∠MON=∠MOC-∠NOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）

= ∠AOB，所以當∠BOC改變大小，∠MON度數不會改變。

（3）由第二題得：∠MON= ∠AOB== a

（4）當∠AOB=a，∠BOC=β，請直接寫出∠MON的大小。

解：∠MON=∠AOM-∠AON= ∠AOC- ∠AOB= （∠AOC-∠AOB）

= ∠BOC= β

射線OM是大角∠AOC的角平分線，當射線ON是小角∠BOC∠MON= ∠AOB== a；當射線ON是小角∠AOB的角平分線時，∠MON= ∠BOC= β也就是說，∠MON的大小是受角平分線ON的位置的影響即——大角和其中的一個小角的平分線形成的夾角等于剩下沒有畫角平分線這個小角度數的一半。同樣的，線段中的也有類似的數量關系，如圖：線段AB上有任意一點C把線段AB分成兩段AC、CB，再作點E，F分別是線段AB和線段AC的中點，則線段EF=AF-AC= AB- AC= （AB-AC）= BC，若點E，F分別是線段AB，線段BC的中點，則EF= AC，故可以得到類似結論，一條線段被任意一點分成兩條線段，則所得兩條線段中任意一條線段的中點與整條線段中點之間的線段長等于剩下沒有取中點的這條線段長的一半。

通過習題串教學，變式教學，讓同一個知識點以不同問題的形式出現，讓學生看清問題的本質，觸類旁通，達到做一題會一片的效果，從而降低學生低效的重復練習，提高教育教學質量。