初中平面幾何距離最短問題的探討

黃旭林

數學知識源于生活，用于生活，特別是《義務教學數學課程標準》提出，要實現“人人學有價值的數學，人人都能獲得必要的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”的目標。在生活中存在求距離最短的問題，以節約成本，所以距離最短的問題，也成為考試內容之一，是有點難度的。為了攻克初中平面幾何中的求距離最短的問題，經過我不斷的探討和實踐，在教學中，我認為要從以下幾方面入手：

一、弄懂平面幾何中距離最短問題的解題原理。

初中數學教材里提到，“兩點之間線段最短”和 “垂線段最短”這兩個公理是求初中平面幾何中距離最短的問題的依據。距離最短問題實質上就是這兩個公理的靈活運用。

1.“兩點之間線段最短”的應用可分為三種類型

（1）如圖1，點A與點B分別在直線l的兩側，在l上有一個動點P，求使AP+BP的值最小。

直接連接點A和點B所得線段交直線l于點P，根據“兩點之間線段最短”此時AP+BP的值最小為AB。

（2）如圖2，點A與點B分別在直線l的同側，求在l上有一個動點P使AP+BP的值最小。

作A關于直線l的對稱點C，連接BC交直線l于點P，根據“兩點之間線段最短”此時PC=PA，AP+BP的值最小為PC+BP=BC。

（3）如圖3，A村和B村分別在一條河的兩側，河的兩岸互相平行并且寬度為a，求在A村和B村之間河上修一條橋，使A村通往B村之間的路程最短，求橋的位置。

此題比前面1.（1）類型多了一條橋，可以過點A作AC垂直于河邊，使AC=a，然后連接CB，交近B村的河邊的點D，過點D作線段DE垂直河邊交另一河邊于點E，這時DE就是橋的位置，因為四邊形ACDE是平行四邊形，AC=DE，AE=CD，此時A村和B村之間的路程最短為AE+ED+DB=AC+CB

2.“垂線段最短”的應用

如圖4，A村要修一條大路接通一條筆直公路l，怎樣修才路線最短呢？

過點A作線段AP垂直于直線l，垂足為P，根據“垂線段最短”， 得垂線段AP最短，垂線段AP就是要修路的地方。

二、求解平面幾何中距離最短問題，關鍵在于找出關鍵“點”的位置。

平面幾何中距離最短的問題，常常以動點來出現在題目中。點的位置確定根據是線與線相交于點。如果兩點分別在一條線的兩邊，直接連接這兩點，形成一條新的線段，它與原線段（動點要求在的線段）它們的交點，就是關鍵的“點”； 如果兩點都在一條線的同側，可以通過作其中一點關于原線段（動點要求在的線段）的對稱點，連接這個對稱點與另一個點所得的線段與原線段相交，它們的交點，就是關鍵的“點”，之后把折線通過軸對稱轉換成在同一線段，這兩點的距離即為最小值。至于求直線外一點到這條直線之間的最短距離，直接過這點作這條線的垂線段就得了，垂足就是關鍵的“點”。如何尋找這些關鍵“點”呢？下列以案例說明：

1、“兩定點，一動點”

如圖5，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E為CD邊的中點，P為BC邊上的任一點，那么，AP+EP的最小值為______.

分析：題中P為BC邊上的任一點，只有點P在點A關于BC對稱點和點E的連線與BC的交點，此時的交點是AP+EP的值最小的關鍵“點”。

解：如圖6，作A關于BC的對稱點F，連接EF交BC于點P，則EF就是所求的最短距離，再過點E作EO∥BC，交AB于點O，

∵AB=2，AD=4，E為CD邊的中點，∴OE=AD=4，OF=OB+BF=1+2=3，在Rt△OEF中， = + ，∴EF= =5，AP+EP的最小值為5。

2、“一定點，兩動點”

如圖7，在Rt?AOB中在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值______.

分析：因為PQ是圓O的切線，連接QO得OQ⊥PQ，根據勾股定理有 = - ，OQ是圓O的半徑為1，OP最小時 也最小，因為點P在AB上，所以根據“垂線段最短”，過點O作PO⊥AB，垂足為點P.此時的點P是使PQ最小值的關鍵“點”

解：如圖8，連接OQ，過點O作PO⊥AB，垂足為點P

∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；

根據勾股定理知PQ 2 = -OQ 2 ，

∴當OP⊥AB時，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴AB=6，

∴OP= =3，∴ = - = - =8，∴PQ= =2 ，

三、建立平面幾何最短距離問題的數學模型。

生活中的求最短距離問題，通過抽象成為幾何中的距離最短問題，從上面第一、第二大點分別懂得了求平面幾何最短距離問題的解題原理和通過軸對稱作圖確定關鍵“點” 把折線通過等量代換轉化成同一條直線上的線段，或者通過“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”，然后運用數學語言和數學方法表達出來，并加以計算，通過抽象，建立起一種近似的解題方法，建立起求平面幾何最短距離問題的數學模型，能夠看到類似題型，馬上知道基本的解題思路。

四、強化平面幾何中的距離最短問題的典型題目訓練，提高學生的數學素養。

數學課教學本質，就是數學思維訓練課，讓學生親身經歷并且通過分析問題，解決問題，甚至在失誤中糾正錯誤過程中，培養學生解題能力。平時，教師針對平面幾何中的距離最短問題，多積累些典型的題目，選擇有代表性的題目先進行例題講解，總結出解題規律，再進行套題練習，讓學生獨立完成，從而熟悉距離最短問題的題型，深刻領會解距離最短問題的理論，從而更好地把平面幾何中的距離最短問題應用于現實生活中來。