談等差數列的主要性質及其常考題型

摘要：等差數列的內容內涵豐富，其中，等差數列的性質是高考的熱點內容，重點考查學生對等差數列性質的靈活運用。活用性質，不僅可以獲得較好的解題思路與方法，而且有利于簡化運算，快速解題，加深對等差數列的認識。本文筆者結合自己的教學實踐談點思考。

關鍵詞：等差數列；解題方法；解題技巧

一、 等差數列性質的應用

例1（1）已知{an}為等差數列，a3+a4+a5+a6+a7=450。求a2+a8的值。

（2） 設數列{an}，{bn}都是等差數列。若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=。

（1） 解：∵a3+a4+a5+a6+a7=450，

由等差數列的性質知：a3+a7=a4+a6=2a5。

∴5a5=450。∴a5=90。

∴a2+a8=2a5=180。

（2） 解析：設數列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3+b3=（a1+2d1）+（b1+2d2）=（a1+b1）+2（d1+d2）=7+2（d1+d2）=21，所以d1+d2=7，所以a5+b5=（a3+b3）+2（d1+d2）=21+2×7=35。

【類題通法】

1. 利用通項公式時，如果只有一個等式條件，可通過消元把所有的量用同一個量表示。

2. 本題的求解主要用到了等差數列的以下性質：

若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

對于此性質，應注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不一定成立。例如，a15≠a7+a8，但a6+a9=a7+a8；a1+a21≠a22，但a1+a21=2a11。

【對點訓練】

1. 已知{an}為等差數列，a15=8，a60=20，則a75=。

解析：因為a15=a1+14d，a60=a1+59d，

所以a1+14d=8，

a1+59d=20，解得

a1=6415，

d=415。

故a75=a1+74d=6415+74×415=24。

答案：24

二、 靈活設元求解等差數列

例2三個數成等差數列，其和為12，前兩項之積為后一項的12倍，求這三個數。

解：設這三個數依次為a-d，a，a+d，

則（a-d）+a+（a+d）=12

（a-d）·a=12（a+d）解得a=4d=-2

∴這三個數為6，4，2。

【類題通法】

常見設元技巧

（1） 某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為：a-d，a+d，公差為2d；

（2） 三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：a-d，a，a+d，公差為d；

（3） 四個數成等差數列且知其和，常設成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差為2d。

【對點訓練】

2. 已知四個數成等差數列，四個數之和為16，第二個數與第三個數之積為15，求這個等差數列。

解：設這四個數依次為a-3d，a-d，a+d，a+3d。由題設知：

（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=16

（a+d）·（a-d）=15

解得a=4d=1或a=4d=-1

∴這個數列為1，3，5，7或7，5，3，1。

三、 等差數列的實際應用

例3某公司經銷一種電子產品，第1年獲利400萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少40萬元，按照這一規律如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？

解：由題意可知，設第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an-an-1=-40（n≥2，n∈N*），每年獲利構成等差數列{an}，且首項a1=400，公差d=-40，

所以an=a1+（n-1）d=400+（n-1）×（-40）

=-40n+440。

若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損，

由an=-40n+440<0，解得n>11，

即從第12年起，該公司經銷這一產品將虧損。

【類題通法】

1. 在現實問題中，若題目涉及一組與順序有關的數的問題，則可考慮利用數列方法解決，若這組數依次成遞增或遞減趨勢，則可考慮利用等差數列方法解決。

2. 在利用數列方法解決現實生活中的問題時，一定要弄清首項、項數等基本關鍵量。

作者簡介：

邢春柳，江蘇省南京市，南京市寧海中學。