“平面”教學設計的理性突圍

胡浩

【摘要】“平面”是高中數學立體幾何的原始概念.學生舊有的認知基礎和傳統的教學設計，阻礙了學生對平面“無限延展性”的理解，從而導致作圖教學遇到瓶頸.革新傳統的教學設計，融入數學史素材，借助信息技術的強大功能，創新教學設計，對平面的教學進行理性突圍，進而，對原始概念的教學及其設計提出自己的思考.

【關鍵詞】平面；無限延展性；意象；創新設計；理性突圍；價值取向

1作圖教學中產生的困惑

“平面”是幾何學中的原始概念，是高中數學幫助學生建立空間觀念、培養空間想象能力及空間認知能力的“第一粒鈕扣”.但在教學實踐中，教師通常不重視此概念的教學，表現在只是通過類比直線，借助“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象展開告知式的教學，過高地估計學生的原有認知基礎，導致后續的作圖教學遇到了瓶頸：學生不能順暢地作出兩個平面的交線，進而不能畫出幾何體中符合要求的截面，更不能解決諸如多面體各面延伸分空間部分問題.章建躍博士曾說：“作圖是立體幾何學習的‘第一大事”；2017年6月，代欽教授在北京師范大學舉行的“中學數學課程與教材國際論壇”上，也指出：“作圖是幾何教育的根基.”如何把數學想清楚，如何把數學講明白，如何使學生會思考，這是數學教師專業素養和教學睿智的剛性要求.基于此，筆者通過調研，得出：其根源還是學生對平面及其性質，尤其是對平面“無限延展性”理解不到位，進而表明傳統的教學設計或大多數設計，對學情的分析有偏差，目中有人，但影像模糊，偏離了教學的宗旨——成就和發展學生.

2平面的意象和認知基礎

學習立體幾何，學生對平面的意象主要是生活實踐、舊有知識中的物象，顯性認知是直線，而隱性的認知是研究幾何對象的思想.

（1）從概念意象上看，主要是學生無意識積累的一些關于平面的生活類、舊知類和圖形類的初步認識[1]，如：平靜的水面、光滑的桌面，長方體、正方體的面，等.

（2）從知識基礎上看，主要是學生關于直線的知識（定義、表示、直線公理等），主要基于學生對直線“無頭無尾”性質的想象與理解.

（3）從研究思路上看，研究一個幾何對象，有一條“慣常線路”：先是結合生活實際，抽象出幾何對象，然后下定義，用文字語言、圖形語言、符號語言表示對象；接下來研究其性質，主要是構成圖形的一些要素之間的關系，包括位置關系、數量關系、與其它幾何對象的關系等.這條線路，學生雖已多次體驗，但未加留意，也未必熟悉.這取決于教師的教育理念，取決于教學活動的寬度與高度，取決于教學行為的品位與品質，在平時的教學中教師是否注重對學生進行“系統思維”的歷練和養成.

3傳統教學設計及其弊端

在各級各類考評課、優質課、示范課、公開課中，“平面”的教學設計大體框架如下：

（1）回顧直線的概念（生活抽象，特征：直的、無限延伸、沒有長短、沒有粗細），類比得出平面的概念（平的、無限延展性，沒有邊界、沒有厚薄）.

（2）類比直線的畫法與表示，讓學生自主學習：讀一讀，畫一畫，寫一寫，說一說，得出平面的畫法與表示.

（3）結合學具（直線、平面），提煉出直線在平面內、平面與平面重合、平面與平面相交這三種位置關系，從公共點的個數或分布規律，多媒體輔助，展開三個公理的教學.

物質的本質是運動.筆者認為，根據這樣的設計展開平面概念的教學，學生得到的只是靜態的、僵化的、沒有遷移能力和發展潛力的知識，不能真正突破平面無限延展性的“圍堵”，有明顯的弊端或不足.

學生對“平面”的認知基礎和意象主要來自直線，但是，由于學生對直線的理解只是停留在“一維”區間中，不能升級到“二維”域的層面，因而導致傳統教學設計表面芳華，卻不能生根.事實上，由直線類比出平面，需要舍棄對象所有的物理性質，抽象出對象的數學屬性（即把對象數學化），需要學生有很強的空間想象能力和數學直覺思維能力，這對大多數學生來說，思維跨度太大，能力要求過高.另外，“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象，只能形成學生平面“平”的形象，不能形成學生平面“無邊”的意象，反而容易產生平面“是有邊界”、“是個封閉圖形”的思維干擾.教科書中，“用平行四邊形表示平面”的說法，實屬不妥，應調整為“用平行四邊形表示平面的局部”，實際上，平面是不可以畫出全貌的，這就給研究空間中點、線、面之間的位置關系帶來很大不便.如何解決？用平行四邊形表示平面的局部，再輔以平面具有“無限延展性”的想象，問題迎刃而解.基于此，筆者又查閱了一些經典的教學設計文獻，如《名師授課錄（中學數學）·高中版》、文衛星著《中學數學教學方法研究》等，大體上按以上設計展開教學.筆者沉思，平面的教學設計難道就是如此的固步自封，自我囚禁，不能與時俱進？一定不是，傳統的教學設計必須要革新！

4創新設計實現理性突圍

化學家傅鷹指出：“一門科學的歷史是那門科學最寶貴的一部分，因為科學只能給我們知識，而歷史卻給我們智慧”.平面的概念在歷史上經過了漫長的發展，眾多數學家都對平面作過刻畫[2].

古希臘哲學家巴門尼德（Parmenides）將平面定義為“一個二維對象、直的表面.”

歐幾里得（Euclid）將平面定義為“與其上直線一樣平放著的面.”

海倫（Heron）將平面定義為“平面是具有以下性質的面，它向四周無限延展，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合.”

傅里葉（Fourier）對平面的定義為“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成.”

萊布尼茲（G.W.Leibniz）將平面看成“平面是與兩點等距離的點的集合.”

數學史是教學的指南，教育取向的數學史研究為課堂教學提供了豐富的素材.通過回顧歷史，我們不難發現：平面的認知基礎和意象的確是直線.但是，采用告知式的教學方式，顯然不能對學生進行數學研究方法的滲透，不能對學生進行理性精神的培養.因此，立足教材，著眼學生，對平面的教學進行創新設計意義重大.

（1）回顧直線的概念.生活抽象，特征：直的、無限延伸、沒有長短、沒有粗細.教師指出，描述直線概念時，我們是舍棄了其物理性質：粗細、輕重、顏色等，保留其數學屬性：直的、無限延伸，因而直線是沒有長短的.

（2）由“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象，抽象出“平”的形象；用幾何畫板動態展示，歷史上數學家傅里葉對平面的理解：“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成”，如圖1.圖1

（3）結合幾何畫板的動態演示，引導學生思考、探究和感悟：直線m在轉動過程中，由于始終與直線l垂直，再加上m是直的，所以直線m掃過的圖形應該是“平的”；又因為直線m是無限延伸的，無頭無尾，因而其運動產生的圖形應該是“無限延展的”，無邊無際.在還原數學家傅里葉探究平面概念之旅的過程中，學生的形象思維與抽象思維能力，幾何直觀意識與數學理性精神，得到一次刻骨銘心的歷煉，數學核心素養受到一次扎實有效的培育.在抽象出平面“平的”、“無限延展的”的特征之后，我們可以用怎樣形象化的語言來描述平面呢？——“無邊無垠”、“坦蕩如砥”！

（4）引導學生對平面進行小結：點動成線，線動成面.平面是：平的，無限延展、沒有邊界、沒有大小，沒有厚薄.教師指出，描述平面概念時，我們是舍棄了其物理性質：厚薄、輕重、顏色等，抽象其數學屬性：平的、無限延展，因而平面是沒有邊界的，其面積是不可求的.

（5）類比直線的畫法與表示，讓學生自主學習：讀一讀，畫一畫，寫一寫，說一說，得出平面的畫法與表示.教師強調，用平行四邊形表示的只是平面的局部，但是卻為我們研究空間圖形的結構和性質帶來很大的方便.

（6）結合學具（直線、平面），提煉出直線在平面內、平面與平面重合、平面與平面相交這三種位置關系，從公共點的個數或分布規律，多媒體輔助，展開三個公理的教學.為什么兩個平面只要有一個公共點，那么它們就有且只有一條經過該公共點的公共直線？“無限延展性”必然導致兩平面“相交”，“平的”則保證交線“有且只有一條”.

孔凡哲、史寧中教授認為：“培育學生的數學核心素養，需要教師幫助學生親身經歷數學化的過程，獲得理解性掌握，在獲知過程中提升數學核心素養.”章建躍博士進一步指出：“當前，在幾何教材中落實數學核心素養，就是要在‘何由以知其所以然上進行突破與創新.”[3]

要使學生對平面的概念獲得理解性掌握，就必須要創新教學設計.平面的教學不但要建立在生活以及舊有知識的基礎上進行，而且又要考慮融入數學史的角度進行教學[1].借助信息技術直觀形象的演示功能，添加數學史素材，能有效地刺激學生大腦的溝回，激發學生的形象思維和抽象思維；能夠十分有效地化解“無限延展性”的學習障礙，實現由平面意象到平面形象，再到平面意境，直到平面概念的精準落地與華麗轉身.5原始概念教學價值取向

“把握數學本質，啟發思考，改進教學.”是《普通高中數學課程標準（2017版）》四大基本理念之一.新課標要求普通高中數學課程要以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，為學生的可持續發展和終身學習創造條件.數學教學不僅要關注如何幫助學生學會知識、技能、思想方法，更應當關注如何引導學生會學習、會思考、會應用，不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

在數學核心素養“六核三觀”的引領下，除了單純的知識與技能的習得，學生還需要擁有“在特定情境中，能夠運用包括知識、技能與態度在內的心理的、社會的資源，應對復雜問題的能力.”要培育這種創新能力，意味著以知識傳授為主體的課堂教學范式需要轉型，從“知識本位”的被動地應試學習，轉型為“素養本位”的能動地深度學習.

數學根本上是玩概念的，概念是數學的樁基.要從總體上理解數學，必須要構建概念的結構體系，結構體系不僅是知識之間的鏈接，也是數學知識與學生認知之間的鏈接.核心概念的教學既要解構也要建構，解構為的是幫助教師把握數學的本身；建構為的是幫助教師將數學傳授給學生.這是建立結構體系的兩個基石[4].

原始概念的教學，其流程導圖一般如圖2所示.

原始概念的教學，其模式一般有兩種：一種是基于學科本身，圍繞“教”而謀；一種是基于教育對象，圍繞“學”而做.基于數學核心素養觀的原始概念教學，要把師生的教學活動當作一個有機整體，雙管齊下，多點聯動，而不是將“教”與“學”各作一方來處理.原始概念的教學也是師生為實現教學任務和目標，圍繞教學內容，共同參與，通過對話、溝通和合作活動，產生交互影響，以動態生成的方式推進教學活動的過程.首先，從課程的角度來看，概念教學要厘清其“前世今生”，探究的內容要有價值，要貼近學生，利于學習；其次，從教學的角度來看，要搞清楚學生在形成概念，吸納知識、方法和思想時，可能的困惑點及其成因.學生已經理解了什么，學生不理解的怎么處理，講解到什么程度，教師要有應對的策略；再次，從教師的角度來看，完成概念教學要有哪些知識儲備，具備哪些專業素養、教學技術和教育藝術，教師要先知先覺，胸有成竹.

原始概念的教學，要遵循其產生發展的歷史，教學過程必須符合學生的認知規律，順應人性的發展.要探究原始概念生成的過程，講解描述性語義背后的“故事”，重溫概念產生的文化場景，揭示概念的結構與本質.防止由于泛化的類比和直白的告知，導致學生對概念的理解產生“飄移”，而不得不采用大量重復的練習，來對概念的理解和應用進行錨定.原始概念的教學是“慢”的藝術，講究“焐”的過程，走走停停，想想探探，會看到更多的瑰麗風景.

原始概念的教學，更要進行創新設計，可以作為“主題教學”的素材，指導學生模擬微科研進行“項目研究”，收集、閱讀相關的歷史資料，結合其發展過程撰寫研究報告.從數學的歷史中尋找智慧，運用信息技術、畫圖軟件甚至人工智能，獲取各種相應的教學資源，利用可視化數據處理的方法和技術，及時分析概念教學中的各種案例和問題，實現概念理解的理性突圍.原始概念的教學，不僅考驗教師的專業素質和教學水準，體現教師反思研究的能力，而且又能培養學生發現問題、分析問題和解決問題，進行科學研究的實踐能力.

原始概念教學的背后，是教師對教育的感悟，是對數學的把握，是對教學的理解，是對學生健康成長方式的認識.學習即體驗，成長即經歷，讓我們以理念浸潤設計，用智慧點亮課堂，為學生成長而教！

參考文獻

[1]沈中宇，沈金興.高一學生關于平面概念的意象[J].數學通報，2017，56（12）：2126.

[2]李文林.數學史概論[M].（第2版）北京：高等教育出版社，2000.

[3]章建躍.核心素養統領下的立體幾何教材變革（1）[J].數學通報，2017，56（11）：16；18.

[4]朱成萬.函數概念的教學解構與建構[J].數學教育學報，2011，20（4）：100102.

[5]人民教育出版社等編著.普通高中課程標準實驗教科書·數學2（必修A版）[M]（第2版）.北京：人民教育出版社，2007.

[6]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.