中考微專題教學：由淺及深與同類跟進
——以拋物線“內接三角形”問題為例

☉江蘇省海安市海陵中學 李海鳳

二次函數的圖像是拋物線，各地中考以拋物線為背景，結合其“內接三角形”進行探究的習題豐富多彩，本文關注拋物線結合其“內接特殊三角形”與一元二次方程之間的對應關系（即“形數對應”），為了便于教學研究，我們以習題教學的形式構思了一節中考微專題教學課例，現梳理出來，分享給大家.

一、拋物線“內接三角形”習題課例概述

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.

（2）當△ABC是直角三角形時，求證：ac=-1.

教學預設：（1）令y=0，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根）對應著B、A兩點的橫坐標.于是

圖1

（2）由△ABC是直角三角形，可證△AOC △COB，把對應邊的比例式轉化為乘積式，得OC2=OA·OB.接下來“從形到數”，把它們對應的“坐標”代入乘積式，得c2=，化簡可得ac=-1.

教學時注意引導學生體會數形對應、數形互助的數學思想方法.可以使用如下的板書設計幫助學生理解這里的數形對應.

跟進練習：已知二次函數y=3x2+bx+c的圖像與坐標軸分別交于A、B、C三點，若△ABC是直角三角形，則c的值為______.

解題預設：根據例1（2）中的結論“當△ABC是直角三角形時，ac=-1”，可直接寫出3c=-1，解得c=-.

例2平面直角坐標系xOy中，頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點.

（1）若△ABC為直角三角形，求證：b2-4ac=4；

（2）若△ABC為等邊三角形，求證：b2-4ac=12；

（3）若△ABC中∠ACB=120°，求證：b2-4ac=.

教學預設：根據題干信息，有如下一些準備工作.畫出圖2進行分析（設a＞0，拋物線開口向上），結合拋物線的對稱性質可確認△ABC一定是等腰三角形，且CA=CB.接著拋物線y=ax2+bx+c與x軸（即直線y=0）交于A、B兩點.則點A、B的橫坐標對應著關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根，可算出AB的長為.表示出拋物線的頂點C的坐標作CH⊥AB交x軸于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

圖2

（1）若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，則AB=2CH，則，變形得b2-4ac=4.

講評提醒：貫通思路之后，可以與例1中提醒學生數形對應的板書一樣，給出相應的板書（略）.

拓展預設：因為x軸就是直線y=0，還可將x軸一般化為直線y=n，有如下更一般的情形與性質.

走向一般：如圖3，平面直角坐標系xOy中，頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n交于A、B兩點.拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n聯立得到關于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0.若△ABC為直角三角形，是否有b2-4a（c-n）=4？

簡證：關于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0的兩根為，可算出AB的長為.表示出拋物線的頂點C的坐標），如圖3，作CH⊥AB交直線AB于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

圖3

若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，則AB=2CH，則，變形得b2-4a（c-n）=4，仍然滿足一元二次方程ax2+bx+c-n=0的Δ=4.

類似的，仍然可證得：若△ABC為等邊三角形，有b2-4a（c-n）=12；若△ABC中∠ACB=120°，有b2-4a（cn）=.

跟進練習：（1）二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個交點A和B，頂點為C，且b2-4ac=4，則∠ACB的度數為（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

（2）二次函數y=ax2+bx+1（a≠0）的圖像與x軸有兩個交點A、B，頂點為C.若△ABC恰好是等邊三角形，求代數式b2-2（2a-3）的值.

預設解答：根據例2，對于（1），可直接看出∠ACB為90°；對于第（2）問，稍加包裝，把代數式b2-2（2a-3）展開整理得b2-4a+6，再對照二次函數表達式中常數項c=1，將待求式子轉化為b2-4ac+6，結合△ABC恰好是等邊三角形，可得b2-4ac=12，于是代數式b2-2（2a-3）的值為18.

二、教學思考

1.加強同類收集，是數學解題研究的一種追求

教師的解題研究不能滿足于解一題丟一題，而要注意收集、關聯同類習題，并及時整理存檔，重視個人教學素材庫的建設.筆者的一般做法是，在電腦上有相應的文件夾，想好同類題的主題命名文件夾，比如，本文關注的主題可命名為“主題關注 拋物線與內接三角形 形數對應”，這樣日后檢索資料時可以根據不同的關鍵詞很快查找到，而且后續有類似的素材更新時，也可繼續添加到相應主題的文件夾中.

2.重視解后回顧，讓解題研題服務于習題教學

解后回顧對于師生的解題都是十分必要的，是加深理解、增強記憶的好方法.特別是教師解后回顧，不但要想清問題的結構與本質，還可從服務習題教學的角度進行思考，問題還有哪些可能的變式？已有性質的發現能否進行推廣？上文例2的教學拓展，就是這方面的一個重要應用.習題課教學中，注重變式，善于引導學生“走向一般”思考問題的習慣，不但對一道習題的理解更加深刻，達到解一題、會一類的效果，更重要的是向學生傳遞了數學的特點，比如數學的抽象思想、一般化及模型思考.

3.構思板書設計，使習題教學難點得到化解

習題課教學也需要經營板書，而不是雜亂無章的解題步驟，而且除了解題步驟的構思、排版，對于關鍵步驟、重要的轉化策略、解題難點，還需要有另外的板書構思，這也是教學藝術的體現.在上文例1、例2思路講解之后，我們分別給出兩處體現“形數對應”的板書設計，通過不同標注、箭頭示意等形象的方式呈現出來，根據教學觀察，多數學生在記錄課堂筆記時，對老師這種精心設計、形象的板書細節，都能“完好”地記錄在他們的聽課筆記上，也對他們理解難點起到很好的幫助作用.