初中數學深度學習的有效引導

陳雷 朱建民

[摘 要] 深度學習是核心素養培育的重要途徑. 深度學習不會自然發生，在初中數學教學中，研究學生的前概念、促進事實性知識與概念性知識的平衡、強調數學思想方法的認識與應用，并通過學習模型的建立，可以保證深度學習的發生.

[關鍵詞] 初中數學；深度學習；有效引導

在討論核心素養培育的過程中，深度學習得到了很多人的關注，一般認為，深度學習是培育學生學科核心素養的重要途徑. 當前，對深度學習的研究視角是多元的，其中學習科學視角下的深度學習界定，是比較適合教學的. 在學習科學的視角下，深度學習被定義為“學生在學習原理的支配之下，在具體的學習情境中以核心概念為主要學習內容的理解性和創新性學習”. 對于初中數學學科教學而言，深度學習重在數學思維的參與，重在學生的先前經驗在新學習情境中跟數學問題發生相互作用，進而促進學生有效信息的加工，重在問題解決過程中數學知識的綜合應用. 通過這樣的學習過程，學生的數學抽象能力可以直接得到培養，邏輯推理可以自然運用，數學建模會逐步成為學生的自然意識，而這三者就組成了數學學科核心素養的框架（著名數學教育專家史寧中教授就將數學學科核心素養歸納為這三點）.

需要注意到的現實是，深度學習并不會自然發生，如果沒有教師的引導，可以說絕大多數學生的學習都會處于淺學習的狀態. 要讓學生真正進入深度學習狀態，離不開教師的有效引導. 本文旨在討論初中數學教學中如何進行有效的引導，以促進深度學習的有效發生，下面主要從以下幾個方面進行討論.

關注前概念，奠定深度學習基礎

深度學習首先是有效的學習. 有效的學習是以尊重學生的前概念為基礎的. 對于初中數學教學而言，前概念必須引起重視. 日常教學中的學生學習之所以出現淺學習的情形，一個重要原因是，教師在教學中更多的將思路放在基于數學邏輯的推理上，盡管數學知識的體系離不開邏輯，但對于初中生來說，如果過多地側重于邏輯與推理，那學生的學習將失去認知基礎，尤其將失去形象思維基礎. 顯然，忽視了前概念的利用，學生的學習必將失去生活這個重要的根基. 那么，初中數學如何有效地利用學生的前概念呢？筆者在實踐的基礎上總結后認為，前概念的利用主要還是應當在數學概念的建構上.

例如，在“平行四邊形”的教學中，“兩組對邊分別平行”的認知建構并不是一個難點，但認真研究學生的思維會發現，學生所認識的平行，很大程度上就是線的平行，是抽象思維加工的結果，但同時又是以想象表象的形式存在的. 而且學生大腦中關于平行四邊形的認知往往是固態的而不是動態的，這樣的思維基礎在平行四邊形新知識學習時往往不會有太大的障礙，但在后續的問題解決中，往往會因為缺乏變化而形成障礙. 考慮到這個問題，筆者在平行四邊形新知學習時，充分讓學生表述自己對平行四邊形的理解，并舉出自己熟悉的事物來進行說明. 這樣的教學環節充分調動了學生的前概念，同時讓學生主動加工了自己的前概念. 如舉出生活中晾衣架的例子之后，還可以借助語言，描述出在推動晾衣架的過程中，平行四邊形的變化情況，進而判斷出這是角的變化而非邊長的變化. 而在判斷角的變化過程中又想到平行線的性質，使得角度變化的判斷又從定性走向定量. 在這樣的變化過程中，學生對平行四邊形的表象要豐富得多，前概念自然也就利用得充分得多. 如果教師在此過程中再適當引導，并注意提醒學生數學語言的應用，那這個學習過程就將學生的前概念與平行四邊形知識有效地聯系了起來，從而奠定了深度學習的基礎.

此外，在問題解決中也有這樣的前概念利用機會，尤其是當問題情境與生活素材相關且學生無法直接利用時，教師擇機激活學生的前概念也非常有益. 由于其機制與概念建構大同小異，故這里不贅述.

求知識平衡，強化深度學習條件

這里所說的知識平衡，主要是指事實性知識與概念性知識的平衡. 學生在數學學習中必然會基于事實性知識建構概念性知識，這兩者偏執于任何一端，學習都不能走向深度學習.

有研究者指出，事實性知識與概念性知識的平衡是一個雙向過程. 如果學生的原有概念框架已經形成但運用不暢，則需要充實事實性知識，以讓學生更好地理解、運用概念；如果學生的事實性知識豐富，則可以讓學生在事實性知識的基礎上提煉概念性知識，以使概念的形成更符合學生的認知規律，進而形成良好的認知結構.

教學“勾股定理的逆定理”時，筆者注意到學生在此前學習勾股定理的時候，已經研究了較多的直角三角形，更重要的是，在這個過程中，由于自然的邏輯思維作用，學生也已經開始思考如下問題：如果滿足a2+b2=c2，那這個三角形是不是就是直角三角形了呢？筆者判斷，在這樣的思維中，學生的事實性知識充足而概念性知識需要補充，于是教學中就進行了這樣的設計：首先，基于學生已有的經驗，引出“如果滿足a2+b2=c2，那這個三角形是不是就是直角三角形”這個問題，并讓學生基于直覺判斷“是”還是“不是”——這一步的目的是提取學生的事實性知識. 其次，讓學生基于已有的勾股定理以及產生的問題，明晰“互逆命題”這個概念，并讓學生判斷，如果原命題正確，那其逆命題是否一定正確. 這需要學生舉出此前熟悉的其他例子來佐證，從而為判斷勾股定理逆命題正確與否提供更多的概念性知識. 最后，讓學生證明勾股定理的逆命題是否成立. 具體的證明過程延續傳統的教學思路，但在學生認同了勾股定理逆命題的正確性，并建立了互逆定理的認識之后，再讓學生回過頭來反思剛才的學習過程，并有意識地從事實性知識與概念性知識兩個角度幫學生建立聯系，以讓學生認識到勾股定理逆定理的建立既需要前面豐富的直角三角形知識作為支撐，同時需要經由嚴密的邏輯推理來形成互逆命題，進而形成互逆定理. 事實證明，經由這樣的過程，學生的思維是充分的，建立勾股定理逆定理的過程是豐富的，學生關于直角三角形中勾股定理的正反運用認識是深刻的，這是一個有效的深度學習過程.

事實性知識與概念性知識的平衡，在初中數學教學的具體演繹中是否拿捏得當，取決于教師對學生思維中兩種知識的了解程度. 教師只有知道學生原有認識偏向于哪一種類型的知識，才能在教學中有效地向另一知識牽引，從而讓學生在追求知識平衡的過程中實現深度學習.

重思想方法，保障深度學習發生

對于數學學科而言，數學思想方法的重要性不言而喻. 早在課程改革之初，數學思想方法就成為重點關注的對象之一，且在課程改革推進的過程中引發了各路專家的熱議. 與其他討論點不同的是，數學思想方法的重要性是公認的，而對于如何體現數學思想方法，則出現了多元主張. 在深度學習的研究視域中，思想方法與學科本質高度相關，而在初中數學教學中，思想方法的建立更與學生對數學學科本質的認識有關. 筆者以為，只有真正建立了對數學學科的科學認識，才能讓數學學科核心素養的培育得到保證.

坦率地講，當前初中生對數學學科的認識是偏頗的，他們認為數學就是套公式解題，認為數學就是為了追求計算的準確性，而這些認識又恰恰是在“刷題”的過程中形成的. 對于絕大多數一線教師來說，有效的應試手段仍然是“刷題”，這個現象無法回避，但筆者仍然認為，在初中數學概念、規律的學習中，在將數學知識應用于問題解決的過程中，要滲透數學思想，這不僅對應試有益，對于學生數學學科核心素養的培育來說，更是必要條件.

教學“勾股定理”時，教師可以給學生呈現古今中外一些勾股定理的發現、證明史實，讓學生在對趙爽的“勾股圓方圖”，對畢達哥拉斯研究地磚的構圖中，自然調動合情推理的思維方法，并利用數形結合（拼圖方法）去完成證明過程，同時在問題解決中又有從復雜圖形中抽象出勾股定理數學模型的過程……在這些過程中，學生的顯性任務是證明勾股定理，是利用勾股定理解題，隱性任務是對數學思想方法的體驗，這個體驗過程如果得到教師的有意強調，尤其是基于數學思想方法的強調，那學生就會認識到數學思想方法在這些過程中所起到的作用，從而促進深度學習的有效發生.

構學習模型，促進深度學習定型

關于初中數學中的深度學習，還需要強調一點，即學習模型的建立. 這個模型與數學建模相關，但又不完全相同，其主要是指學生在對數學學習認識的基礎上，將數學學習過程本身模型化. 譬如數學概念的學習，學生進入八年級之后，必須有一個清晰的對數學概念學習模型的認識，知道一個數學概念的學習需要經歷哪些過程，需要哪些素材的支撐，需要用什么樣的數學語言去描述等.

例如，學習“函數”概念時，學生必須清晰地認識到，只有在具體事實中分清常量、變量、自變量等基本概念，函數的概念才能最終形成；而要準確地描述一個函數，還需要關注自變量的取值范圍；函數通常都可以用圖像來描述等. 這些常規性的認識，必須成為概念學習的直覺性認識，這樣才能為深度學習提供學習品質保證.

綜上所述，初中數學深度學習的發生，需要教師基于學生的學習心理而刻意引導. 只有這樣，才能保證核心素養的培育有一個科學可行的途徑.