初中數學深度學習的四個基本理解

張維明

[摘 要] 核心素養背景下的初中數學教學，需要有效的實施途徑. 深度學習是核心素養培育的重要思路，初中數學教學需要建立對深度學習的準確理解，然后結合教學傳統施行. 合理的知識觀、建構式的學習方式、核心概念的把握、生本化的指導，是深度學習的四個重要方面.

[關鍵詞] 初中數學；深度學習；教學理解

核心素養是最新的關于學生成長目標的表述，其被定義為學生應當具備的能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力. 在《中國學生發展核心素養》框架中，核心素養又被進一步表述為文化基礎、自主發展和社會參與，其中文化基礎包括人文底蘊、科學精神，自主發展包括學會學習與健康生活，社會參與包括責任擔當和實踐創新. 在注意到核心素養作為培育目標的同時，更應當注意到核心素養的培育并非自然達成的，尤其是對于一線教師來說，所需要思考的是通過什么樣的教學才能讓學生的核心素養培育成為現實.

課程改革的經驗告訴我們，這樣的思考僅憑一線教師是無法給出全部答案的，嚴格來說，這個問題的回答，既需要教育一線專家的理論貢獻，也需要一線教師的實踐智慧. 近期，筆者注意到一個理論，那就是深度學習是實現核心素養培育的重要途徑，而進一步學習之后筆者亦發現，深度學習的諸多理論與筆者已有的實踐探究比較一致，于是，筆者對理論與實踐進行了綜合，進而提出初中數學教學深度學習需要建立四個基本理解，下面分別說明.

知識觀的重新建立

知識在教學中的地位和重要性不言而喻，在應試的背景下，教師的知識觀其實比較僵化. 在學生的印象中，數學知識就是用來解題的，數學知識也是權威的，這樣的知識觀對學生學習的影響在于，不容易讓學生在積極的知識觀作用下開展深度學習. 深度學習需要的知識觀是動態的、遞進的、進化的. 有學者指出，如果將知識視作解決問題的工具，而且是可以改進的工具，那學生對知識的認識就會是動態的，對知識的理解就會是建構式的.

以“一次函數”的教學為例，這一知識點有兩個重要的基礎知識，即變量與函數. 本課的重要知識內容在于一次函數的概念、圖像、性質以及應用. 同時，教材通常還設計了一次函數與方程、不等式的比較，以讓學生在厘清它們關系的基礎上進一步獲得三者相同或相異的地方. 在這樣的知識觀視角下，學生學習的主要任務就是建構包括這些知識在內的知識體系，然后將其應用到習題解答中.

在權威知識觀的視角下，這些知識都是不可改變的，而在進化知識觀的視角下，這些知識則具有更大的工具性. 這就意味著，教學可以遵循這樣的設計思路（以情境創設為例進行說明）：在情境創設的時候應當選擇生活化的素材，讓學生產生尋找數學工具解決實際問題的動機. 比如情境可以是這樣的：甲、乙兩組同學進行“兩人背夾球”比賽（如圖1），即每組兩名同學用背部夾著球跑完規定的路程，若途中球掉下，需要撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝. 結果，甲組兩位同學掉了球，乙組兩位同學則順利跑完. 設比賽距出發點y m，比賽時間為x s，且兩組同學比賽過程用圖像表示如圖2. 請判斷獲勝的小組，并說明圖2中C點的實際意義及坐標.

這樣的情境還有一個作用，即學生基于圖像判斷數學問題時，帶有明確的工具意識，即圖2對于解決問題起著什么樣的作用，而這個作用發揮得如何（實際上不同學生的感覺是不同的），這些將影響著他們內心對該工具的認可程度. 事實上，有學生因為問題解決不順，而認為圖像這一工具并不十分科學，而這種認識從學習心理學上來說，就為學生營造了憤悱的心境，從而激活了學生接受教師啟發的學習狀態.

可以肯定地講，如果教師一上來就強調一次函數的重要意義，那學生就只能在一個高度服從的狀態下學習，這就意味著學生的自主建構性無法充分發揮，也就無法發生深度學習.

改變單一學習方式

談到自主建構性，必須認識到其是深度學習不可或缺的組成部分，同時也應當認識到其與數學學習的本質密切相關.

在課程改革的理論支撐研討中，有不少人認為支撐課程改革的基礎理論之一是建構主義學習理論. 盡管學界對此還有不同認識，但筆者發現學生在數學學習中確實表現出了非常明顯的建構特征. 當前，初中生的數學學習方式主要是知識學習加習題訓練，這一教學思路類似于較早的行為主義心理學的研究：在學生學習數學知識的過程中強化習題（即所謂的考點知識習題化）情境，以讓學生在其后的習題解答中遇到某個情境，就能選擇相應的解題思路. 而深度學習則拒絕這樣的學習方式. 深度學習追求的是學生自主建構對數學知識的理解，強調學生個體在學習共同體（如同學、教材、其他輔導材料等）的作用下，建構屬于自己的數學知識認識.

由于不同學生的先前經驗與自主建構過程不同，因此學生在建構知識理解的時候方式往往是多元的，認識也往往是豐富的. 同樣是“一次函數”知識，有學生就基于一次函數的解析式建構出其他認識，因此其思維中的解析式往往占據重要地位；而有學生則對圖像感興趣，因而其思維中關于一次函數的知識更多的是以圖像形式存在的. 筆者曾經對班上這兩類學生進行過跟蹤調查，發現他們在遇到新的問題時，第一反應往往就是自己在新知識學習時的最深刻的思維著力點. 解決同一個變量問題時，前者的第一反應是建立解析式，而后者則是試圖作圖.

筆者以為這樣的選擇是合適的，盡管我們強調一個問題總有一個最優化的解題方式，但學生的思維方式不同，因此讓他們在新知學習中、在問題解決中運用自己最擅長的方式去學習、去應用，這可能就是最符合學生需要的學習. 而這與深度學習的要求其實是吻合的.

數學核心概念把握

在對學習機制與心理的研究中，研究者對專家與新手解決同一問題的心理機制進行了比較. 結果發現，專家在解決問題的時候，往往能夠透過表面特征而抓住問題的本質，進而利用自己所擅長的學科知識核心概念去解決問題. 新手則恰恰相反，他們往往會在問題的表面表述上做文章或盲目試錯. 顯然，把握核心概念是重要的是穿透問題表面特征，其是深度學習的重要保障.

對于初中數學教學而言，核心概念往往是一些重要概念，如幾何中的三角形全等、勾股定理等，如代數中的函數、方程等. 這里尤其要強調的是，要幫學生建立大概念意識. 譬如函數知識的教學，就要將正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等綜合起來，讓學生對整個函數知識的理解綜合化、組塊化，這樣不僅能促進學生記憶，還能促進學生運用.

筆者在函數復習中曾經做過這樣的嘗試：以函數概念統領本部分知識復習，在精選函數習題并成功解答之后，讓學生基于自己大腦中的函數知識結構，重新反思該題用到了函數知識體系中的哪些知識點. 重點放在變量與函數，一次函數，用函數觀點看方程、方程組與不等式三個方面；焦點鎖定在函數思想、數形結合思想、分類討論思想的建立上. 這個時候盡量提供一些綜合性試題：如圖3所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖像為（？搖 ？搖）

這樣的綜合題解決，需要學生基于函數這一核心概念去建立解題思路. 問題解決之后再讓學生回顧，則可以強化學生的函數觀念，凝聚學生對函數的認識. 同時，學生的解決策略本身也是以核心概念（學習品質角度）存在的，其對學生的深度學習更有促進作用.

生本化的教學指導

基于學生個體的特點指導數學學習，以保證深度學習的深度與廣度，是實踐的另一收獲. 初中生學習數學各具特點，有時根本不能用同一個標準去衡量所有的學生，盡管筆者知道這是一個“頑固”的教學習慣，但還是要提醒同行必須改掉這個習慣.

筆者的做法是對學生進行生本化的教學指導，根據學生在數學課堂上的表現與作業的情況，判斷學生在數學學習中擅長的思維方式，然后基于數學知識的不同表征，給予他們不同方式的指導（班級授課制中難以精確到每一個學生，但可以基于學習方式對學生進行分類）. 事實證明，這樣的個別化指導，不但可以讓學生形成對數學的興趣，更可以促進學生對數學問題進行深度探究，而這恰恰是深度學習所必需的.

總而言之，在初中數學中有效理解、有效推進深度學習，可以讓學生的數學學習過程更為高效，也可以保證數學學科核心素養的有效培育，其應當是未來初中數學教學的重要方向.