一個(gè)有關(guān)橢圓問題的再探究

福建省仙游華僑中學(xué) (351200)

黃美琴

文[1]對(duì)一道有關(guān)橢圓問題進(jìn)行探究，得到了“橢圓和雙曲線共有的一個(gè)有趣而優(yōu)美的結(jié)論”. 讀后頗受啟發(fā)，但覺得意猶未盡，可以進(jìn)一步探究下去.

一、結(jié)論再現(xiàn)

文[1]中結(jié)論2(其中結(jié)論1是結(jié)論2的特例)、結(jié)論4(結(jié)論3是結(jié)論4的特例)是有關(guān)橢圓短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)的一個(gè)關(guān)聯(lián)性質(zhì)，本文擬對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行再探究.先把文[1]的結(jié)論2、結(jié)論4綜合如下：

二、縱向再探：由特殊到一般的探究

在上述結(jié)論中，A、B為橢圓E短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，即直線x=0與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)，如果把直線x=0放寬為定直線x=m(c≠|(zhì)m|

由此可把上述結(jié)論1推廣為

特別地，當(dāng)m=0時(shí)，結(jié)論Ⅰ即為上述結(jié)論1.

三、橫向再探：由橢圓到雙曲線、拋物線的探究

由于雙曲線的虛軸與雙曲線沒有交點(diǎn)，所以文[1]沒有給出雙曲線類似于上述結(jié)論1(即文[1]結(jié)論2 、4的綜合)的性質(zhì). 其實(shí)，沒有交點(diǎn)并不影響，類似結(jié)論1，容易得到

上述結(jié)論的證明可仿照文[1]的結(jié)論2、4的證明，本文從略. 至此，我們自然要問：結(jié)論I能否推廣到雙曲線的情形？

由此，上述結(jié)論Ⅰ可以推廣到雙曲線的情形.

再看拋物線，由于拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，所以無法給出類似于上述結(jié)論Ⅰ(即文[1]結(jié)論2 、4的綜合)的性質(zhì)，那么，結(jié)論Ⅰ能否推廣到拋物線的情形？

由此，上述結(jié)論Ⅰ也可以推廣到拋物線的情形.

至此，我們完成了對(duì)文[1]的結(jié)論2、4的再探究，得到了文[1]的結(jié)論2、4的推廣.