圓錐曲線問題的探究

山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

張 鑫 于興江

圓錐曲線既是平面解析幾何教學中的重點、難點,又是高考中重點考查的對象.圓錐曲線的第二定義也稱其為統一定義,將圓錐曲線和準線、焦點巧妙地聯系起來.基于此,本文利用幾何畫板對圓錐曲線問題進行探究.

圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)統一定義[1]：平面內與一個定點和一條定直線的距離之比為常數e(e>0)的點的軌跡,稱為圓錐曲線.其中定點是圓錐曲線的焦點,定直線是對應于焦點的準線,e為離心率.

注：當e>1時,該軌跡為雙曲線；當e=1時,該軌跡為拋物線;當0

圖1

定理設圓錐曲線c的焦點為F,過焦點F且不垂直于含有焦點的對稱軸的直線l與圓錐曲線C交于M、N兩點,點N關于該對稱軸的對稱點為N′,則直線MN′恒經過準線與對稱軸的交點Q,過點Q的對稱軸的垂線就是圓錐曲線的準線.

當k=0時,直線l:y=0,點N與N′重合,則直線MN′與l重合.由此可推得,若直線MN′經過定點,該定點必在x軸上.

當k≠0時,聯立直線與橢圓的方程,消去y得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

雙曲線、拋物線的證明方法與橢圓證明方法類似,不再贅述.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線l過橢圓的右焦點F且不垂直于x軸,l與橢圓交于點M、N,設點N關于x軸的對稱點為N′,問：直線MN′是否經過定點？若經過定點,請求出；否則,說明理由.

推論設圓錐曲線C的準線與對稱軸的交點為Q,過Q的直線l與圓錐曲線C交于M、N兩點,點N關于該對稱軸的對稱點為N′,則直線MN′與對稱軸的交點為焦點F.

由圓錐曲線的第二定義、定理及推論,易知圓錐曲線、焦點和準線中的任意兩個要素,都可以求出另外一個要素.