數學建模在常微分方程中的應用

趙俊萍 時文平

【摘要】常微分方程為數學專業的一門基本學科，也是數學與我們現實生活當中的實際問題緊密相連的重要性橋梁，本文主要探討常微分方程在數學建模當中的基本應用問題以及在數學建模當中滲透常微分方程的重要性。

【關鍵詞】常微分方程 數學模型 應用

【中圖分類號】G642；O141.4-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）38-0138-01

1.引言

常微分方程十七世紀產生的數學專業的一門重要分支，也是應用性極強的學科，但是，在常微分方程課程的基本教學當中過分的強調其理論的嚴重性，忽略了其課程的綜合實踐問題，缺少培養同學們的親自動手能力以及應用技能方面的能力，然而數學建模為一種解決具體問題的模型，它也是實際現象與數學理論的匯合，其內在是一項用來鍛煉同學們思考和應用研究技能的方法。所以，我們可以把數學建模和常微分方程運用在一起，將數學建模思想滲入到常微分方程的教學過程中，使學生了解問題的基本運用方法，來進一步提升解決實際問題的能力，這樣也可以帶動學生對常微分學習的樂趣，提高同學們將常微分應用到實際問題的能力，同時也提升數學建模的分析能力。因此，在數學學習當下，數學建模的首要任務是應該成為教學的重要目標之一，還可以鍛煉同學們的論文寫作創造能力。

2.數學建模與常微分方程的結合

在常微分方程的學習當中，每個理論之后都會有許多具體例子，可以把一部分容易的問題應用到里面，對怎么運用數學知識描述具體問題，并且將其進行合理的分析，運用哪種理論知識和哪種常微分方程，以及把學習過的方程可以應用到的實際問題進行著重教學，將所學的教學內容與數學建模方法結合起來。

3.通過運用數學軟件解決常微分方程知識

其實，在學習常微分方程中，我們首要關注的是解題方法，可是當我們在解其解時，常微分方程的圖像是怎樣通過時間的變化而產生改變的，這需要引入常微分方程模型的方式來對其進一步探究，但是該模型的形成過程一般是較復雜的，我們通過筆算是難以將其解算出來的，因而，這時候我們就必須運用恰當的數學軟件將其數值解答出來，而且我們還可以運用該軟件進行數值的模擬，這不僅能提升同學們對常微分方程的學習興趣，也可以提高同學們應用數學建模思想解決常微分方程實際問題的能力。

4.數學建模在常微分方程中的應用

我們在學習當中能夠有針對的對學術性論文進行分析與研究，可以通過當前數學建模的探究情形，把一些帶有研究性質的實際問題運用到里面，運用數學建模著重解決一些實際問題的方法，從而提高學生數學科研能力，例如，在充分了解學習了常微分方程穩定性與不穩定性理論之后，能夠對以下文獻[1]進行較為嚴密講解。在該文獻[2]中分析與探究了CTL反應動力學性態，通常為了方便研究，我們能夠將其進行下列假設：（1）雙線性感染率表示為自由病毒粒子與易感細胞的概率；（2）狀態變量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）是連續的，當中，B（t）代表當t時刻時，自由病毒微粒的濃度；A（t）代表在某一個時刻，CTL細胞的濃度；Q（t）代表在t時刻時，易感細胞的濃度；D（t）代表在t時刻時，已經感染病毒細胞的濃度；（3）全部的感染細胞在逐漸死亡過程當中都會有1個病毒顆粒的產生；（4）CTL細胞的增長一般都是會對激發染毒細胞很依賴，若它們兩個相互接觸，則會以hl的速度急劇提升；（5）一般情況下Logistic都具有繁殖增長得到健康T細胞的能力；（6）若細胞已經被感染，那么CTL免疫反應在把該細胞清理之后，通常是不可能釋放病毒顆粒的，假設被清理速率是ER。通過上面的假設可以得出有關于狀態變量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）的一個流程圖。其中， β代表易感細胞與病毒微粒的接觸概率；K代表易感細胞的環境容納量，dv、dc、dT、dt所代表的分別為病毒微粒、CTL細胞死亡概率、易感染細胞與已經感染病毒的細胞；r代表的是易感染細胞的增長概率；λ代表的是在單位時間內通過分泌胸腺得到的易感染細胞的數量，因此我們可以得出病毒反應動力學的模型，如下：

dQdt=λ-dQQ+rQ（1-kQ）-βQB

dDdt=βQB-diD-PDC

5.結語

常微分方程是數學專業一門重要的學科，在很大程度上也給同學們建立起一架從理論知識通往實際問題的橋梁。在本文通過對常微分理論的研究，使我們深刻理解了常微分理論的含義，掌握了它的運算形式，提高了學生們的做題技能。本文所講述的只是常微分方程其中的一部分，其它方面仍有待于我們做進一步的深層次研究。

參考文獻：

[1]馬知恩，周義倉，李承治.常微分方程定性與穩定性方法[M].2版.北京：科學出版社，2015.6.

[2]姜啟源，謝金星.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2004：128-174.

[3]葛琦，侯成敏.基于數學建模的常微分方程創新教學模式探析[J].高教研究與實踐，2015.