例析GGB軟件在動態幾何教學中的應用

曾飛鵬

【摘要】 動態幾何是初中數學重要的教學內容，也是每年中考的壓軸問題.以近年廣東省中考為例，動態幾何問題常常在中考中以幾何圖形中的動點、平移、旋轉、折疊為背景，考察線段、面積的最值，以及運動過程中的特殊位置問題等.圖形的變換，要求學生“對圖形再認識，在頭腦中讓圖形動起來”，而學生由于在實際生活中對圖形的動手操作較少，對動態問題缺乏感性認識.這就需要在教學過程中，特別是初三專題復習階段，合理利用信息技術工具進行數學實驗，將抽象的思考對象形象化、直觀化，從而有效提高動態幾何教學的課堂效率.本文在《在平板上利用GGB軟件探究動態幾何問題》課題組研究的基礎上，以課題組公開課《動態幾何中的面積問題》中的片段為例，簡述利用GGB軟件的動畫功能解決動態幾何中的面積問題。

【關鍵詞】 GGB軟件 動態幾何教學 應用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）08-122-02

0

例題：如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

（1）設EF=x，AH=_________，DH=_________，EQ=_________；

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式。

一、數據詳實，便于猜想

二、動靜皆宜，適于分類

GGB軟件的動畫功能，即可自動播放，也可手動播放，還可以在需要時在圖中進行批注，所以適宜用于動態幾何中的分類討論教學。以問題（3）為例，GGB軟件的動畫功能，在以下幾個步驟中可發揮其優勢：

1.發現圖形形狀的變化規律階段.當教師提問“矩形EFPQ與△ABC重疊部分的形狀隨著時間t的變化如何變化？”后，雖然學生經過畫圖，小組合作交流，但是對于平移過程中圖形的再認識并不清晰，不能很好地讓圖形在頭腦中動起來.當教師將重疊部分生成陰影，啟動動畫演示后，模糊的圖形形象頓時生動形象，學生幾乎可以同時對形狀的變化規律加以歸納：五邊形→梯形→三角形。

2.制定分類討論標準階段.這一階段經過由形的認識到數的衡量的過程。我們知道分類討論的依據是：圖形的根本屬性發生根本改變。那么，重疊部分從何時開始由五邊形變為梯形，從何時開由梯形變為三角形呢？對于分類標準的的討論，是學生最難以把握，教師利用常規教學手段難以達到理想教學效果的一個教學內容。但是，利用好GGB軟件的動畫功能卻可以輕松突破這個難點。首先，從形的角度來研究，教師手動慢速拖動矩形EFPQ，重疊部分形狀大致經歷了如圖2～圖6的變化過程，學生很容易發現點P與點C重合時（如圖3）重疊部分由五邊形變為梯形、點E運動到AC上時（如圖5）重疊部分由梯形變為三角形； 其次，從數的角度來研究，由圖1易得，初始位置時，PC=4，當矩形EFPQ運動到圖3位置即點P與點C重合時，平移距離為4，此時t=4；當矩形EFPQ運動到圖5位置即點E運動到AC上時，平移距離即為EF的長，此時t=5；當矩形EFPQ運動到點Q與點C重合時時，平移距離等于EF+PC=9，此時t=9.最后，制定分類標準：①0≤t<4時，②4≤t<5時，③5≤t≤9時。由于GGB軟件的動畫可以任意回放，教師可以輕松依據圖形引導學生注意標準要“不重不漏”對及t=4放于第②種情況，t=5放于第③種情況的實際含義加以闡述 。

3. 求S與t的函數關系式階段。這一階段可將動畫分別拖到圖2、圖4、圖6位置加以分析。以圖2為例，引導學生分析重疊部分的面積等于矩形EFPQ的面積與以點F為直角頂點的三角形面積的差，而該三角形是以t為邊長的等腰直角三角形。將動畫定格于圖2，啟用平板或投影上的畫筆功能，在相應的直角邊上標上對應的長t，這時，求函數解析式這一難點已變為相對簡單的計算了。用同樣的方法可對圖4、圖6加以分析，最后，寫出S與t的函數關系式：

三、分頁顯示，一題多變

在初三專題復習階段，特別是形如動態幾何這類壓軸題教學，容易出現就題講題的局面，學生能聽懂，但不會運用。而且，因為每個問題的解決都需要一定時間，很多教師陷入一節課講一個題太少，講多個題太趕的矛盾之中。解決這些問題，筆者認為適當進行變式教學，既可鍛煉學生從不同的側面去分析問題的能力，又可起到實時練習的作用，使學生靈活扎實的掌握所學內容，還可以使課堂一氣呵成，銜接流暢。 而GGB軟件可利用顯示/隱藏圖層腳本來設置對象按頁顯示，可以在同一個文件使用按鈕“上一頁”或“下一頁”來切換不同的數學對象，從而使得變式教學操作簡單易行。如本課在完成問題（1）～問題（3）后，繼續追問：

（4）當矩形EFPQ的面積最大時，將△AEF以1個單位/s的速度沿AD向下平移，得△A′E′F′（點A′在高AD上），求平移后的△A′E′F′與矩形EFPQ重疊部分的面積y與平移的時間t（s）（0≤t≤8）的函數關系式。

學生用平板自主播放動畫，按圖8、圖9兩種情況分小組完成后，教師用平板將學生的答題情況拍照后，投影到屏幕，加以對比點評。

為了激發學生學習興趣，教師繼續提出一系列思考題：

（5）當矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以1個單位/s的速度沿DA向上平移，求平移后的矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積y與平移的時間t（s）（0≤t≤8）的函數關系式。

（6）點A、A′關于直線EF對稱，.若直線EF沿AD向下平移（點E在邊AB上移動且不與點A、B重合），設△A′EF與矩形EFPQ重疊部分的面積為y，線段EF的長度為x.

①求y與x函數關系式；②y是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值；如果不存在，試說明理由。

……

總之，在教學中運用GGB軟件進行數學實驗，將動態幾何問題中的圖形變化過程直觀形象的展示出來，不僅有利于培養學生對圖形再認識的能力，還可以進行變式訓練，進而開拓學生思維，保證課堂效率，培養學生深入研究數學問題學習習慣。