高中數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)方法

歐陽煉

[摘 要] 數(shù)學建模素養(yǎng)是高中數(shù)學核心素養(yǎng)構成要素之一。數(shù)學建模活動體現(xiàn)出全面的數(shù)學能力。數(shù)學建模作為一種問題解決的方式，是提高學生應用素質的最好途徑。在教學中，可以通過下列途徑來提升高中生的數(shù)學建模素養(yǎng)：從生活中的問題出發(fā)，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的興趣與意識；重視學生數(shù)學閱讀的訓練，為培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)打下基礎；在合作學習中讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，形成數(shù)學建模的能力；通過反思和運用，完善學生數(shù)學建模的認知結構，提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng)。

[關鍵詞] 核心素養(yǎng)；數(shù)學建模；數(shù)學閱讀；合作學習；反思

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識與方法構建數(shù)學模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，構建模型，求得結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。

培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)具有以下實踐意義：1.讓學生體會數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)數(shù)學應用意識和運用能力；2.增強學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)團隊合作意識，提高分析問題和解決問題的能力；3.讓學生知道數(shù)學知識的發(fā)生過程，培養(yǎng)他們的數(shù)學創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識。

一、從生活中的問題出發(fā)

學生進入高中以來，從各個方面接收到的信息就是高中數(shù)學很難，學生普遍對數(shù)學學習產(chǎn)生恐懼心理，對數(shù)學建模沒有興趣。為了克服這個問題，筆者引入貼近學生生活的事例，以生活情境的方式在課堂上展示給學生，來描述數(shù)學問題產(chǎn)生的背景，這樣就拉近了數(shù)學和學生的距離。這些有一定的趣味性的問題可以很好地吸引學生，滿足學生好奇好動的心理要求，從而讓學生對所學內容產(chǎn)生興趣，產(chǎn)生強大的學習動機。

筆者所在的學校是一所寄宿高中，并且，學生宿舍沒有配備洗衣房，這樣，學生每天都需要自己洗衣服。從這個生活實際出發(fā)，在研究二次函數(shù)的最值問題時，筆者就引入了下面這個問題情境：

假設大家在洗衣服的時候，衣服已經(jīng)用了洗滌劑，并搓揉得很充分，這個時候我們需要把衣服上的洗滌劑沖洗干凈。首先我們把衣服擰一擰，把臟水擰掉，當然不可能擰干，擰后衣服上還殘留含有污物的水1公斤。如果我們還有20公斤清水用來漂洗，最多只能漂洗兩次，問題是要怎樣漂洗才能將衣服洗得更干凈？

學生一拿到這個問題，馬上就議論紛紛：

學生甲：肯定是分兩次洗得干凈，可以漂洗兩次。

學生乙：那可不一定，水的總量是20公斤，是固定的。

學生丁：我自己洗衣服都是漂洗次數(shù)越多越干凈，應該是分兩次洗會更干凈，每次用10公斤的水來漂洗就可以了。

這個問題把學生的積極性調動起來，學生對這個問題充滿了興趣，非解決這個問題不可。

數(shù)學新課程標準指出：數(shù)學教學應該從學生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并理解運用。“數(shù)學來源于生活，又服務于生活。”通過從生活中的問題出發(fā)，創(chuàng)設合適的問題情境，可以很快地抓住學生的心理，讓學生對數(shù)學建模產(chǎn)生興趣，愿意運用數(shù)學知識來解決問題，從而培養(yǎng)他們數(shù)學建模的興趣和意識。

二、重視學生數(shù)學閱讀的訓練

數(shù)學閱讀能力就是學生閱讀、領會和理解數(shù)學材料的能力。在課堂上要引導學生對問題中的各項因素進行分析，找出因素之間的關系和制約各因素的條件，用數(shù)學語言進行描述和解釋，從而準確地在情境問題和數(shù)學問題之間進行轉化，為培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)打下基礎。

筆者在課堂上經(jīng)常采用的方法就是特殊情況研究法。先解決一個很簡單的特殊問題，引導學生對問題中的各項因素進行分析，找出因素之間的關系和制約各因素的條件，從而鍛煉學生的閱讀能力。例如在解決學生怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題時，筆者在學生對問題感興趣之后再問了兩個問題，讓學生獨立思考：

1.如果洗一次，把衣服放進20公斤的水里面，那么連同衣服上那1公斤的水，一共有多少公斤的水？擰干后，衣服還有1公斤的水，污物殘留量和原來殘留量的比值是多少？

2.如果分兩次洗，第一次用5公斤水，污物殘留量是原來量的多少比值？再用15公斤的水，污物殘留量是原來量的多少比值？

學生通過自主研究這兩個問題，就能得到結論：一為 [121]，二為 [16×116=196]。這事實上就是學生完成對這個問題的數(shù)學閱讀，搞清楚問題中各個因素的關系。

在課堂上教師一定要注意學生數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)，引導學生認真審題，分清題中重要的關系，排除無關因素的干擾，將題中具體的數(shù)量關系理清，將實際問題轉換為數(shù)學問題，最后將文字語言轉換為圖形語言或者數(shù)字語言，建立數(shù)學模型。

三、在合作學習中讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程

同伴之間的交流與合作，更有利于學生描述和交換他們的數(shù)學思維。因為在討論的過程中，教師和學生盡力解釋和論證自己的模型，傾聽并理解他人的模型，形成新的模型。

例如在解決怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題時，學生在獨立閱讀和思考后進行合作學習：

同學甲：同樣分兩次洗，也可以每次使用10公斤水，每次污物殘留量是原來的[110+1=111]，兩次漂洗后，污物殘留量是原來的[111×111=1121]。相比較把水分成分成5公斤和15公斤的水洗兩次殘留[196]要更少。我覺得應該是把水平均分來洗效果最好。

同學乙：有沒有同學算到比[1121]還小的數(shù)？

同學丙：雖然我們都沒有算到比[1121]還小的數(shù)，但是數(shù)有無窮多個的，我們怎么保證其他所有情況都比[1121]大呢？我覺得是否可以建立一個函數(shù)模型來解決這個問題？

同學們再一次陷入了思考和討論中。

同學丁：將這桶水分成兩部分，設其中一部分是[x]，則另一部分是[20-x]，其中[x<20]。兩次漂洗后，污物殘留量是[f（x）]=[1（x+1）（20-x+1）]，這時只需要求[f（x）]的最小值就可以了。但是這個函數(shù)的最小值應該怎么求呢？

同學甲：這個問題可轉換為求[g（x）=（x+1）（20-x+1），x<20]的最大值來解決啊。我們可以令[g（x）=（x+1）（20-x+1）=-（x-10）2+121]，這是一個二次函數(shù)，通過它的圖象，我們可以知道當[x=10]時，[g（x）]有最大值121，即[f（x）]有最小值[1121]。所以，把水桶里的水平分兩次來洗，洗滌效果最好。

在合作學習的過程中，學生進行了數(shù)學思維的碰撞，經(jīng)歷了整個數(shù)學建模的過程，掌握了數(shù)學建模的方法，形成了數(shù)學建模的能力。

四、通過反思和運用完善學生的數(shù)學建模的認知結構

學生的反思包括對問題表征的反思、對策略選擇的反思、對模式識別的反思、對推理過程的反思。及時進行反思，系統(tǒng)歸納、總結經(jīng)驗可以完善數(shù)學建模的認知結構，是提高學生建模能力的重要途徑。例如在解決學生怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題后，讓學生反思整個數(shù)學建模的過程：

1.模型分析：認真閱讀問題的背景，對問題中的各個因素進行分析；通過特殊情況的研究，加深對數(shù)學模型的理解。

2.模型建立：運用從特殊到一般的數(shù)學思想，建立問題的數(shù)學模型。

3.模型運用：通過數(shù)學知識來解答這個數(shù)學模型，并對問題進行現(xiàn)實意義的解釋。

在教師的引導下，學生通過反思和運用，對數(shù)學模型的認識經(jīng)歷了由感性到理性再到感性的過程。在這種循環(huán)往復、螺旋上升的過程中，學生的數(shù)學建模素養(yǎng)得到進一步的提升。

責任編輯 李杰杰