定積分的幾種常用方法和技巧

摘要：定積分是積分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，計(jì)算方法有很多，除了常用的定積分的定義、性質(zhì)、N-L公式、換元法、分部積分法之外，還有很多方法和技巧很容易被忽略，要真正掌握定積分的技巧是難點(diǎn)。結(jié)合經(jīng)典例題詳細(xì)介紹了數(shù)形結(jié)合法、拆項(xiàng)法、巧用“1”、利用被積函數(shù)奇偶性、巧用公式法、分部積分法、利用泰勒公式和綜合使用各種基本積分法計(jì)算定積分，不僅能減少計(jì)算量，更能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)求知。

關(guān)鍵詞：定積分；計(jì)算方法；技巧

定積分是積分學(xué)的基本內(nèi)容之一，它有著重要的應(yīng)用，其計(jì)算方法和技巧有很多，吸引了很多學(xué)者研究探討。趙香萍研究給出了定積分的幾類特殊解題技巧；施露芳討論了不變現(xiàn)代換、方程組以及幾何意義和周期性計(jì)算定積分；文項(xiàng)慧慧給出了牛頓-萊布尼茲公式和數(shù)形結(jié)合的方法計(jì)算定積分；羅威提出了利用被積函數(shù)的奇偶性、周期性積分區(qū)間的對(duì)稱性，定積分的幾何意義計(jì)算定積分；寧榮健列舉了方程式求解、利用導(dǎo)數(shù)、利用二重積分、利用解微分方程求解定積分等。為減少計(jì)算定積分時(shí)間，提高計(jì)算效率，下面詳細(xì)介紹定積分的計(jì)算方法。

一、 利用數(shù)形結(jié)合法計(jì)算定積分

數(shù)形結(jié)合實(shí)質(zhì)是根據(jù)定積分的幾何意義，借助幾何的直觀性計(jì)算定積分更簡(jiǎn)便。

【例1】求∫101-x2dx。

解：解法一：由定積分的幾何意義知，∫101-x2dx表示的是由直線x=0，x=1，曲線f（x）=1-x2和x軸圍成的面積（見圖1）。

圖1

從圖1中易知定積分∫101-x2dx等于以0為圓心，1為半徑的圓的面積的14，即∫101-x2dx=14πr2=14π。

解法二：采用第二類換元積分法。

設(shè)x=sint，則dx=costdt，當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=1時(shí)，t=π2，∫101-x2dx=∫π20cos2tdt=12∫π20（1+cos2t）dt=12t+12sin2tπ20=π4。

對(duì)比兩種方法，顯然數(shù)形結(jié)合的方法計(jì)算定積分更簡(jiǎn)便。

注意：對(duì)于常見的被積函數(shù)為a2-x2時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的方法計(jì)算更簡(jiǎn)便。當(dāng)定積分中被積函數(shù)易求面積時(shí)，考慮使用數(shù)形結(jié)合的方法計(jì)算定積分。

二、 拆項(xiàng)法計(jì)算定積分

當(dāng)被積函數(shù)分母形式為相鄰近兩項(xiàng)的乘積或可化為相鄰兩項(xiàng)乘積時(shí)，采用拆項(xiàng)法。例如1x（x+k）=1k1x-1x+k；1x2（x2+k）=1k1x2-1x2+k；1x2-a2=12a1x-a-1x+a。

【例2】求∫1361x2（x2+1）dx。

解：∫1331x2（x2+1）dx=∫1331x2-1x2+1dx=∫1331x2dx-∫1331x2+1dx=-1x-arctanx133=1+3-π12。

注意：被積函數(shù)分母為相鄰近兩項(xiàng)的乘積才能拆項(xiàng)，拆項(xiàng)后為避免出錯(cuò)，可通分檢驗(yàn)拆項(xiàng)是否正確。

三、 巧用“1”計(jì)算定積分

當(dāng)被積函數(shù)為有理分式且分子分母無公因式，通過分母中加1再減1，或者先減1再加1處理后，根據(jù)分式的加減法，把分式寫成同分母的分式的代數(shù)和的形式，根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算即可。常見形式如：x2x2+1=x2+1-1x2+1=x2+1x2+1-1x2+1；x4x2+1=x4-1+1x2+1=x4-1x2+1-1x2+1；x2x+1=x2-1+1x+1=x2-1x+1+1x+1；x4x2-1=x4-1+1x2-1=x4-1x2-1+1x2-1；x2x-1=x2-1+1x-1=x2-1x-1+1x-1。

【例3】求∫136x4x2+1dx。

解：∫133x4x2+1dx=∫133x4-1+1x2+1dx=∫133x2-1+1x2+1dx=13x3-x+arctanx133=-23+8327+π12。

注意：巧用“1”在定積分的計(jì)算中非常重要，常用在有理分式中，通過分母加1減1，把分式化成幾個(gè)分式的代數(shù)和，再進(jìn)行計(jì)算。很多時(shí)候通過換元積分和分部積分之后，仍需要巧用“1”。

四、 利用被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算定積分

當(dāng)積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間[-a，a]時(shí)，（1）若f（x）在[-a，a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則∫a-af（x）dx=0；（2）若 f（x）在[-a，a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx。利用此結(jié)論可以簡(jiǎn)化某些定積分的計(jì)算。

【例4】求∫π2-π2cosxcos2xdx。

解：積分區(qū)間-π2，π2對(duì)稱，且f（x）=cosxcos2x為偶函數(shù)，則∫π2-π2cosxcos2xdx=2∫π20cosxcos2xdx=2∫π20（1-2sin2x）dsinx=2sinx-23sin3xπ20=23。

【例5】求∫1-1xsin2x1+x2dx。

解：積分區(qū)間[-1，1]對(duì)稱，且f（x）=xsin2x1+x2為奇函數(shù)，則∫1-1xsin2x1+x2dx=0。

注意：在利用被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算定積分時(shí)，首先要注意積分區(qū)間是否對(duì)稱，若積分區(qū)間對(duì)稱，且被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，利用結(jié)論可以迅速地給出積分結(jié)果。

五、 巧用公式計(jì)算定積分

高等數(shù)學(xué)教材都附了積分表，若要求學(xué)生全部背誦難度太大，但對(duì)于常用的高中階段沒有接觸的公式見要求學(xué)生熟記，掌握這些積分公式可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算效率。

【例6】求∫1014x2+9dx。

解：∫1014x2+9dx=∫101（2x）2+32dx=12∫101（2x）2+32d（2x），

利用公式∫1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C得，

上式=12ln（2x+4x2+9）|10=12ln（2+13）-12ln3。

注意：常見的積分公式見一定要熟記。

六、 分部積分法計(jì)算定積分

分部積分的實(shí)質(zhì)是將復(fù)雜的積分化為更簡(jiǎn)單的積分計(jì)算。分部積分公式為∫bauv′dx=[uv]ba-∫bau′vdx或∫baudv=[uv]ba-∫bavdu，運(yùn)用的關(guān)鍵是：恰當(dāng)?shù)倪x擇u，v′求導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單的選為u，容易求原函數(shù)的選為v′。

【例7】求∫10xcosxdx。

解：選取u=cosx，v′=x，這里u易求導(dǎo)數(shù)，且v′好求原函數(shù)，根據(jù)分部積分公式有∫10xcosxdx=x22cosx-∫10x22sinxdx，不難發(fā)現(xiàn)上式右端的積分更復(fù)雜了，積分很難再進(jìn)行下去。顯然如果u，v′選擇不當(dāng)，利用分部積分公式后，積分會(huì)更難計(jì)算。為了方便計(jì)算，避免走彎路，對(duì)于被積函數(shù)是基本初等函數(shù)乘積的形式，u函數(shù)的選取按照“反函數(shù)、対數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)”的順序先出現(xiàn)的函數(shù)選為u，剩下的函數(shù)即為v′，這樣可以簡(jiǎn)化積分的求解。

若令u=x，v′=cosx，有∫10xcosxdx=∫10xdsinx=xsinx-∫10x′sinxdx=（xsinx+cosx）|10=sin1+cos1-1。

注意：在利用分部積分法計(jì)算時(shí)，把被積函數(shù)看作兩個(gè)乘積型的函數(shù)，按照“反對(duì)冪指三”的順序先出現(xiàn)的函數(shù)選取u，剩下的為v′。

七、 利用泰勒公式計(jì)算定積分

有些初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，再根據(jù)N-L公式、換元積分法、分部積分這些基本的積分方法不一定能夠計(jì)算出結(jié)果，如：∫10ln（1-x）dx和∫10sinxxdx被積函數(shù)都為初等函數(shù)，但基本的積分方法不容易積出，此時(shí)把被積函數(shù)用泰勒公式展開，在進(jìn)行計(jì)算。

【例8】求∫10ln（1-x）dx。

解：被積函數(shù)ln（1-x）為初等函數(shù)，但基本的積分方法失效，把ln（1-x）按泰勒公式展開，ln（1-x）=-x-12x2-13x3-…，于是∫10ln（1-x）dx=∫10-x-12x2-13x3-…dx=-12x2+12·3x3+13·4x4+…10=-12+12·3+13·4+…=-1。

八、 綜合利用各種積分法計(jì)算定積分

對(duì)于定積分的計(jì)算，有些方法不一定是最簡(jiǎn)的，有時(shí)需要綜合利用各種積分法來計(jì)算。

【例9】求∫1121（2+x10）xdx。

解：被積函數(shù)為1（2+x10）x，利用一般的積分方法不易積分，先處理被積函數(shù)，有∫1121（2+x10）xdx=∫112x9（2+x10）x10dx，令t=x10，則dt=10x9dx，且當(dāng)x=12時(shí)，t=1210；當(dāng)x=1時(shí)，t=1，上式變?yōu)椤?12x9（2+x10）x10dx=110∫1121（2+x10）x10dx10，被積函數(shù)分母為相鄰項(xiàng)相乘，利用拆項(xiàng)法，有∫1121（2+x10）x10dx10=12∫1121x10-12+x10dx10=12[ln（x10）-ln（2+x10）]112=12[ln（x10）-ln（2+x10）]112=-12ln3+5ln2+12ln2+1210，于是∫1121（2+x10）xdx=-120ln3+12ln2+120ln2+1210。

定積分的計(jì)算方法和技巧有很多，根據(jù)定積分題型的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。

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作者簡(jiǎn)介：

張旭清，貴州省貴陽市，貴州醫(yī)科大學(xué)生物與工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室。