小議編題對于教師專業化成長的必要性

☉江蘇省南通市通州區金沙中學 陳玲鈺

眾所周知，每年的高考真卷試題都是不少大學教授、中學教師合力創編的，其中不乏出產了很多優秀的試題.在為這樣的試題叫好的同時，我們不禁要問，為什么一線教師更多的關心解題？卻不太關心試題背后的命題機制？如何讓教師從解題向編題、命題轉變是提升教師專業化素養的關鍵.

一、概念理解的必要性

教師的成長需要兩個環節，第一是教師自身對于概念的深入理解，第二是如何命制與概念相關的數學問題.不難發現，當下的數學教學對于概念教學的指導是乏力的、缺乏引導的，對于概念的一個定義、三項注意的教學方式依舊出現在諸多課堂的常態課教學中，這樣的課堂教學首先說明了一個問題——教師自身沒有深層次地理解數學概念，因此無法用自己的語言豐滿地表述概念、闡述理解，只能通過大量的訓練去替代，試問：這樣的概念教學對于教師而言如何提高自身的專業化水準呢？沒有深厚的概念理解，又如何去命制一個優秀的試題呢？因此教師自身對于數學概念的理解是必需的.

分析：最大值和最小值概念是數學必修1教材中提出的，教材中對于最值強調的是兩個方面：其一，對任意定義域D中的自變量x，f（x）≤M成立；其二，必定存在x0∈D，使得f（x0）=M.筆者以為，學生并不了解這一概念的精髓，當且僅當才是最值概念最核心的理解.另一方面，最大值還有高等數學化的表述，即這種理解進一步提升了最值概念的代數化特征、抽象性，從而提高了學生的抽象思維和邏輯推理能力.

命題：已知定義在［0，2π］上的最大值函數f（x）=max{sinx，cosx}，最小值函數g（x）=min{sinx，cosx}，其中根為

考點分析：本題主要考查三角函數的圖像與性質以及特殊值的運算，考查學生數形結合的能力，考查學生對問題的理解分析能力，該題運算量較大，綜合性較強，有一定難度.

設計意圖：要求學生畫出正弦函數與余弦函數的圖像，進一步得到最大值函數f（x）和最小值函數g（x）的圖像，結合正余弦函數的性質計算x1，x2，x3，x4，然后再去檢驗選項的正確性.

我們易得正弦函數與余弦函數的圖像，如圖1.

圖1

得到最大值函數f（x）的圖像，如圖2.

圖2

圖3

說明：正確地理解最值概念，以及最值的高等數學表達符號，這都是對于最值概念最為深刻的理解，筆者以為在理解概念的基礎上，結合自身教學經驗，編制合理的試題有助于加深概念的理解，本題中對max{x，y}=兩個符號的正確理解，并利用三角函數圖像較為直觀地區分學生對于最值的取舍，這是教師在自身理解最值概念基礎上編制的數學問題，是以三角為背景的考查函數最值概念的基本問題，顯得命題思路較為清晰.

二、尋求變式的必要性

變式教學是中國數學教育的重要特征之一，其大大提高了學生對于數學知識的理解力，因此變式教學往往對于學生理解數學有著重要的意義.在很多優秀的試題中，知識點的呈現往往連貫而經典，是多位老師通力合作的結果，對于教師而言，如何將這樣的問題進一步改編呈現，對于學生來說，不僅了解命題的動向，也深刻地理解知識的內在，對于教師而言，大大加快了其自身專業化命題的素養.

圖4

分析：如圖4，不妨設△ABF2的邊長為m，則|BF1|=m-2a，據雙曲線的定義有：|AF1|=|AF2|+2a，所以m+m-2a=m+2a，即m=4a，|AF1|=6a，|AF2|=4a.在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=（6a）2+（4a）2-2×6a×4acos60°，所以|F1F2|=

另法分析：如圖5，不妨設BD=1，則AD=2，于是AC=3-2a，CD=1+2a.在△ACD中，由勾股定理得（1+2a）2=22+（3-2a）2，所以該雙曲線的離心率為

圖5

說明：本題作為壓軸題具有很好的區分度.本題主要考查雙曲線的定義、離心率的求法及勾股定理.解法一使用坐標運算，利用點在雙曲線上構造離心率方程求解；解法二借助雙曲線定義和勾股定理求解，對比兩種解法，明顯第二種解法抓住了問題本質，運算量較小.改編本題的主要意圖是讓學生進一步理解：解決離心率問題的導向：首先思考橢圓、雙曲線的定義，進一步理清蘊藏其中的平面幾何性質，最后利用相關等式求解.

三、編制多解性問題的必要性

命題的另一個正確視角是編寫的問題要有適度的多思維性，即可以從多視角入手，提高學生對于知識理解的全面性，這種全面性依托了教師對于問題的合理命制，以及從知識點角度對于問題的考慮.解題大師羅增儒教授說：解題要解透一道題，而不是關注其數量的多少，解透一道題必然要考慮試題的多角度解答，這樣對于教師的成長是快速的.筆者以為，對于學生而言也是一并如此，因此命制更好的試題成為多解性問題探索的條件.

問題：如圖6，已知圓C：x2+（y-2）2=5，A（-1，0），M是圓C的弦AB的中點，且|OA|=|OM|.則直線AB的斜率為_______.

分析：本題為筆者原創題，主要在圓的垂徑定理上設計關系.所以解法2將兩個垂直條件結合，直接秒殺該題.若不能看出其中的垂直關系，也能經過運算求解，這便是解法1.

圖6

圖7

解法2：如圖7所示，連接MC，MD.

說明：中學數學問題的解決顯然是兩個主要視角，其一是代數化的視角，本題解法1自然是注重學生的代數運算的能力，因此在學生日益缺乏運算能力的時候，平時關注代數視角是不錯的選擇；其二是幾何直觀，可以這么說，中學數學的幾個典型章節，都是以幾何為主的解法占據了優勢，譬如向量、直線和圓、拋物線問題、橢圓雙曲線離心率問題、函數圖像問題等，因此命制本題恰恰是雙管齊下的復習數學問題解決的兩個主要導向——代數和幾何.

總之，編題是教師成長路上不可或缺的環節，要如何編題、編什么樣的問題，這是值得教師不斷思考和總結的.筆者以為，以高考真卷為參考，編制以概念理解為導向的試題是第一選擇，以高考真卷問題改編是第二選擇，以一題多解的命制為第三選擇，長此以往，對于教師自身命題能力的提高有著重要的作用，成為專業化成長的關鍵之一.