指向核心素養(yǎng)的解題策略研究
——圓錐曲線中斜率類問題的統(tǒng)一解法

☉安徽省滁州中學(xué) 傅毓?jié)?/p>

☉安徽省滁州中學(xué) 郭守靜

高考數(shù)學(xué)“考什么”，這在“大綱”中有清晰的界定，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：考知識(shí)、考素養(yǎng)、考潛能.新課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)是這樣定義的：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).同時(shí)新課標(biāo)提出了六大核心素養(yǎng)，而圓錐曲線是落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的良好載體，圓錐曲線問題也一直是高考中重點(diǎn)考查的核心內(nèi)容，對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說解題思路不難想到，但是往往中途擱淺.究其原因一方面是沒能很好地運(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)去進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，另一方面是運(yùn)算量較大而導(dǎo)致出錯(cuò).因此本文通過幾道高考試題的深度思考，探索關(guān)于斜率這一熱點(diǎn)問題的統(tǒng)一解法.

一、試題再現(xiàn)

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線P2A，P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

類似的試題還有：2015年新課標(biāo)全國卷Ⅰ（理科）的第20題，2015年北京卷（理科）第19題等.顯然這些試題的共同點(diǎn)都是以斜率的和為定值或斜率的積為定值為條件來設(shè)計(jì)的，盡管2018年的第19題中的點(diǎn)M和2017年的第20題中的點(diǎn)P2都是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，可是運(yùn)算量仍然偏大，考試的結(jié)果是很多同學(xué)沒能拿到滿分.以2017年全國卷Ⅰ的第20題為例，如果把條件改為P3A，P3B的斜率和為-，證明：l過定點(diǎn).結(jié)果又會(huì)是怎樣的呢？運(yùn)算量顯然比原題加大了許多.

二、規(guī)律探究

通過前面的分析，我們知道在探究直線PA，PB的斜率類問題時(shí)，P點(diǎn)在坐標(biāo)軸上顯然比在普通位置上的運(yùn)算量要小得多，所以設(shè)想當(dāng)P點(diǎn)若在坐標(biāo)原點(diǎn)則應(yīng)該更容易些，所以接下來就是一個(gè)化歸的問題.平移是數(shù)學(xué)中常用的一種變換，而這種變換顯然是不改變直線的斜率的，所以我們可以把問題通過平移化歸為過原點(diǎn)的問題來解決，事實(shí)上我們有下面的定理.

證明：考慮到平移不改變直線的斜率，故我們作一平移：n=（-x0，-y0），設(shè)平移前橢圓上任意一點(diǎn)T（x，y），平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為T′（x′，y′）.

由向量關(guān)系n=TT—→′，得

b2x′2+a2y′2+2b2x0x′+2a2y0y′=0. ①

同理直線y=kx+m平移后的方程為

kx′-y′=t（其中t=y0-kx0-m）.

把上述方程代入方程①得

由韋達(dá)定理可得

三、一覽眾山小

下面我們利用定理所提供的方法來解決幾道問題.

例1（2017年全國卷Ⅰ理科第20題）此略.

（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得直線x=2，直線過右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn).

x′2+4y′2+8y′=0. ①

設(shè)平移后的直線為y′-kx′=m代入①，得（x′2+4y′2）m+

當(dāng)4m+8=0?m=-2此時(shí)直線過橢圓的下頂點(diǎn)，其中有一條直線沒有斜率，舍去，所以4m+8≠0，

把②代入③，得y+1=k（x-2），所以直線過定點(diǎn)（2，-1）.很明顯這種解法比常規(guī)的解法運(yùn)算量少.

（1）求橢圓C的方程；

圖1

注意到平移沒有改變直線的斜率，故我們可以作一平移n=（-2，-1）,則有

又因?yàn)椤螦PB=90°，故△PMN為等腰直角三角形，

所以|MN|=2xP=4.

變式：若本題改為證明直線AB過定點(diǎn)，則采用定理提供的方法，同樣可以很容易得到：

四、類比與拓展

圓錐曲線有一定的共性，我們利用類比的思想不難想到上述方法對(duì)于雙曲線和拋物線的斜率問題也應(yīng)該是成立的，下面我們以拋物線為例作一探究.

例3（2015年新課標(biāo)卷Ⅰ第20題改編）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn).直線x=2分別交曲線C和直線l于P，T兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，總有∠TPM=∠TPN，證明：k為定值.

圖2

分析：∠TPM=∠TPN?kPM+kPN=0，容易得到P（2，1），故作一平移n=（-2，-1），則有

x′2+4x′-4y′=0. ①

設(shè)平移后的直線l′：y′-kx′=m代入方程①得x′2·m+（4x′-4y′）（y′-kx′）=0，

又因?yàn)槠揭撇桓淖冎本€的斜率，故原直線的斜率為-1.

四、反思

通過定理的探究過程，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵是運(yùn)用聯(lián)想、類比等手段把一個(gè)陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決了的問題，即以舊推新，而這正是數(shù)學(xué)家的思維方式，也是老師培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理這一核心素養(yǎng)的必由之路.我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)多對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面的引導(dǎo)，這才是真正的授之以漁.