《神奇的莫比烏斯帶》教學設計與反思

張志芳

“莫比烏斯帶”屬《拓撲學》的內容，是新教材新增加的內容，作為一個數學游戲的介紹來安排。這個內容對于教師來說，是一個不好組織的內容，對于小學生來說也是一個不好理解的內容。但是這個內容又是一個激發學生學習興趣、拓展數學視野的好題材。為了實現以上目標，我預設通過“小魔術”引入，鼓勵學生大膽猜想，在“猜想——驗證——探究”中，讓學生感受到數學的神奇魅力。為了讓學生感受到“它有什么用”，課堂上適當利用課件展示，讓學生直觀地感受它在生活中的運用，使學生在美的享受中再一次感受知識的神奇。

【教學過程】

一、魔術激趣——引入莫比烏斯帶

導入：今天張老師給大家帶來的是一節數學活動課，我希望在這節課中大家一定要仔細觀察、大膽猜測、小心驗證。

師：老師給大家帶來了一個魔術，魔術的道具就是老師手里的這張長方形紙條。你們看老師手里的這張紙條有幾個面幾條邊？（4條邊2個面，2個面分別是一個正面、一個反面，4條邊分別是上、下、左、右邊）

師：現在老師要把它變成2條邊2個面。

（教師把紙條變成紙圈，2個面分別是里面和外面，2條邊分別是上邊和下邊）

師：誰能把4條邊2個面變成1個面1條邊？

（教師轉過身變魔術。看！像這樣的紙圈就只有1個面1條邊）

【設計意圖：以學生喜愛的魔術情境導入，符合學生的年齡特點和心理特征，喚起了學生的學習興趣。學生對變魔術很感興趣，能夠積極主動地參與學習，課堂氣氛活躍。】

二、閱讀指導——認識莫比烏斯帶

教師介紹這個只有1個面1條邊的紙圈叫莫比烏斯帶，它是德國數學家莫比烏斯1858年偶然間發現的，所以就以他的名字命名為“莫比烏斯帶”，也有人叫它“莫比烏斯圈”，還有人管它叫“怪圈”。這也是我們今天所要研究的內容。

關于莫比烏斯帶還有很多有趣的小故事呢！出示兩個文本故事：

故事1：據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場抓獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。

師：（引導）從這個故事中，你獲得哪些有價值的信息？

師生互動形成思維導圖：

師：這是為什么？

（教師演示過程）

故事2：縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。

師：（引導）從這個故事中，你獲得哪些有價值的信息？

師：你們想試一下嗎？

（學生拿出備好的1號紙條嘗試操作）

師：剛剛執事官通過兩個小動作制作的紙環其實就是莫比烏斯帶。這個神奇的紙圈到底是怎么做成的？你們想不想學？那我們先看一段制作視頻，看完后你覺得有什么提醒自己或同學注意的。那我們就拿出1號紙條跟著視頻邊學邊做。

（播放制作視頻）

【設計意圖：以一張紙條變魔術導入課題，又通過閱讀故事激發興趣，使學生欲欲躍試，自己嘗試制作困難時，再讓學生對著視頻邊看邊學制作莫比烏斯帶，既提高了學生的興趣，也提高了學生的學習效率。】

1．莫比烏斯帶的特征。

師：莫比烏斯帶有什么特征呢？

（教師引導發現：用水彩筆在這個紙帶的邊緣選取了一個起點，讓這點沿著它的所有邊轉動一圈，又回到了起點，說明它就是只有一條邊。同樣像故事中的執事官用一支毛筆在紙帶上沿著這個紙帶所有面運動一周，會發現所有面都涂黑了，說明它只有一個面）

師：你們也想試試嗎？請拿出水彩筆在剛剛制作的莫比烏斯帶上畫一畫，再說一說，歸納莫比烏斯帶的特征。

2.利用特征驗證判斷。

展示一個學生的作品，判斷是否為“莫比烏斯帶”？

假設只有一條邊，沿著邊就能一筆畫完所有的邊。隨即讓學生直觀操作一筆畫，回到原點后再讓學生檢查結果，看看是否所有邊都畫到了，所有邊都畫到就證明莫比烏斯帶只有一條邊。假設只有一個面，沿著面就能一筆涂完所有的面。接著讓學生驗證，看看是否所有面都涂到了，同理就能得出結論。

三、直觀操作——玩轉莫比烏斯帶

莫比烏斯帶到底有多神奇呢？下面我們就用“剪”的辦法來研究。

1.對比剪一剪。

老師先拿出這個普通的紙帶，問：老師如果沿著紙帶的中間剪下去，會變成什么樣呢？

（學生猜測后老師動手剪，學生觀察驗證。變成窄一些分開的兩個紙圈）

猜測：如果現在要沿著這個莫比烏斯帶的中線剪下去，你們猜又會變成什么樣呢？

（啟發學生想象力）

剪一剪：要想知道它到底會變成什么樣子，我們應該怎么做？

生：剪剪看。

師：為了不把它剪斷，先看老師是怎么剪的？

（教師示范，微課播放）

師：現在，就請同學們拿出2號紙條，并制作一個莫比烏斯帶，然后沿中線去剪一剪。

（驗證結果：變成了一個更大的圈）

師：那這個大圈是不是一個莫比烏斯帶呢？怎樣驗證？

（用畫一畫的辦法如何驗證它是否是一個莫比烏斯帶。發現從開始到結束只畫了一個面，還有一個面沒畫上，所以它不是莫比烏斯帶）

（小結加深理解莫比烏斯帶的特征）

師：請同學們拿出3號紙條，把一張紙條三等分，兩面中間部份涂上顏色，再制作成一個莫比烏斯帶。

師：如果我們要沿著三等分線剪，剪下涂色的部分，猜一猜：要剪幾次？（2次）剪的結果又會是怎樣呢？

（1）學生動手操作。有困難的同學，同桌合作幫助。

（2）驗證結果：一個大圈套著一個小圈。

問題：這個大圈和小圈還是莫比烏斯帶嗎？你怎樣驗證？（小圈是，大圈不是）觀察這個小圈，其實就是原來長方形紙條的哪一個部分？（中間涂色部分）

【設計意圖：通過讓學生在具體的操作中體會莫比烏斯帶的神奇，讓學生先想一想、猜一猜，剪完以后再想一想：為什么會是這樣的？讓學生動手做、動腦想，有效地培養了學生的空間想象能力和邏輯思維能力，同時感受數學的神奇魅力。】

四、生活中應用——感受莫比烏斯帶的魅力

師：剛剛我們通過剪體會了莫比烏斯帶的神奇，生活中，你見過莫比烏斯帶的運用嗎？讓我們來看一看。（課件展示）

1．三葉扭結：中國科技館的標志性的物體，是由莫比烏斯帶演變而成的。

2．2007年特奧會火炬。

3．過山車：有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯帶，看來我們得謝謝莫比烏斯帶，讓我們開心地轉一周還能回到原地，大家下次去游玩時就可以仔細觀察一下。

4．莫比烏斯爬梯和樓梯。

5．可回收垃圾筒。

【設計意圖：充分發揮多媒體課件的直觀作用，選取一些學生感興趣的圖片，創設了逼真的情境，化枯燥為生動，化抽象為具體，呈現了莫比烏斯帶的美，深化了學生對數學魅力的領悟，拓寬了視野。】

五、課堂小結

師：今天這節活動課，你們有什么收獲？

師：從今天這節活動課中我們發現莫比烏斯帶從中間或是從三等分線剪開，得到的結果是不一樣的，其實還有很多種剪法，有興趣的同學可以在課后繼續去研究，期待同學們會有更神奇的發現。

【課后反思】

莫比烏斯帶這節活動課對學生來說是很新奇的。整節課我設計了三個活動，首先是做莫比烏斯帶，然后是沿線剪，最后沿線剪。設計這節活動課的初衷是想開闊學生的視野，拓寬學生的知識面，讓學生感受數學變幻莫測的無窮魅力。從整節課來看，較好地完成了教學目標，學生在“動手做”中深切地感受到了莫比烏斯帶的無窮魅力，激發了強烈的好奇心和創造欲望。