“直線的傾斜角與斜率”的教材研讀

內(nèi)蒙古包頭市包鋼五中學(xué) 王 卉

教材當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)在解釋上和歸納上都會(huì)有其自己的特點(diǎn)，隨著教育改革以及教材自身的不斷革新，很多知識(shí)點(diǎn)都會(huì)出現(xiàn)一定的變化，因此教師需要對(duì)其進(jìn)行認(rèn)真研讀，找出其核心思想，更好地開展教學(xué)工作。

一、問(wèn)題的提出

課改之后如何開展“直線的傾斜角與斜率”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)工作，一直受到教師群體的熱議。通過(guò)實(shí)踐教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是為了踐行新課標(biāo)的教學(xué)理念，加強(qiáng)概念教學(xué)的有效性，還是有效處理具有爭(zhēng)議的教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題，都需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，要在大膽的實(shí)踐當(dāng)中去印證教學(xué)方法的有效性，需要在探索當(dāng)中實(shí)現(xiàn)教學(xué)工作。但很多教師在關(guān)注“干什么”的同時(shí)，對(duì)于“為什么”的教學(xué)思辨和解釋卻并沒(méi)有給予足夠的關(guān)注，特別是對(duì)教材的關(guān)注和有效利用更是沒(méi)有得到關(guān)注。

二、教材的研讀

1.研讀傾斜角的定義

對(duì)于直線的傾斜角，在大綱當(dāng)中的定義是：在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，對(duì)于與x軸相交的一條直線，如果將x軸繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)x軸與直線重合時(shí)，其所轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角為α，那么這個(gè)角α便是直線的傾斜角。而在人教A版當(dāng)中的定義是：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，x軸正向與直線l向上方向間形成的角α便是l的傾斜角。有些教師會(huì)認(rèn)為新課標(biāo)版教材當(dāng)中對(duì)傾斜角進(jìn)行這樣的定義也是一種無(wú)奈的辦法，因?yàn)樵谥暗慕滩漠?dāng)中并沒(méi)有對(duì)任意角的概念進(jìn)行介紹。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者并未給予認(rèn)同，理由是：第一，在大綱版所提供的定義當(dāng)中，不僅“逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)”與后面敘述當(dāng)中的正角這一概念存在著語(yǔ)義重復(fù)，同時(shí)整個(gè)定義的敘述也非常煩瑣，并不簡(jiǎn)潔，具有非常強(qiáng)的抽象性，學(xué)生在理解的過(guò)程中非常困難，在對(duì)其進(jìn)行記憶時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大的困難。第二，課標(biāo)版當(dāng)中的定義里，只是給出了角的兩條邊，而并沒(méi)有將這是一個(gè)怎樣的角說(shuō)清楚，這種表述的方式從表面上來(lái)看并不嚴(yán)密，其實(shí)卻是恰到好處。因?yàn)檫@種表述方法與數(shù)學(xué)當(dāng)中對(duì)幾何背景下的角的表述習(xí)慣完全相符：能夠用小的便不用大的，能夠使用正角便不使用負(fù)角。同樣，在之前的教材當(dāng)中，空間當(dāng)中的三個(gè)角在定義時(shí)也是使用這樣的表述方式進(jìn)行處理的：異面直線與線面構(gòu)成的角，都是利用兩條相交直線所構(gòu)成的角當(dāng)中最小的角進(jìn)行表示的；對(duì)于二面角的平面角，在教材當(dāng)中并沒(méi)有給出它的范圍，原因便是大家在研究的過(guò)程中都將其默認(rèn)為是一個(gè)銳角、直角或者是一個(gè)鈍角。因此，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，教材便十分自然地將它的傾斜角定義成了0°，而并不是180°。這種常識(shí)性的數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中，教師需要向?qū)W生進(jìn)行一種說(shuō)明性的講解，使得學(xué)生能夠?qū)ζ溥M(jìn)行理解：要最大限度地尋求簡(jiǎn)單和實(shí)用，以對(duì)計(jì)算提供最大的便利的原則。總之，課標(biāo)版當(dāng)中對(duì)于傾斜角的定義是簡(jiǎn)潔、自然并且表述清晰的，對(duì)于學(xué)生的記憶和對(duì)其進(jìn)行理解非常有利，因此在定義當(dāng)中使用所成的最小正角并沒(méi)有必要。

2.研讀斜率公式

課標(biāo)教材對(duì)斜率的相關(guān)公式進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，其最基本的思路便是：先將直線P1P2在方向上的具體情形展現(xiàn)出來(lái)，采用過(guò)這兩點(diǎn)分別作出兩個(gè)坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個(gè)直角三角形的方式來(lái)完成。這種方法從表面上來(lái)看并不如大綱當(dāng)中使用向量的方式進(jìn)行推導(dǎo)來(lái)的有效和簡(jiǎn)潔，但是如果對(duì)其進(jìn)行認(rèn)真研究和思考便會(huì)發(fā)現(xiàn)編者使用了兩個(gè)非常獨(dú)特的意圖：第一，學(xué)生非常容易對(duì)直角三角形的構(gòu)造進(jìn)行理解和聯(lián)想，同時(shí)也能夠?yàn)楹罄m(xù)教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。因?yàn)閷?duì)兩個(gè)點(diǎn)之間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，都需要對(duì)這一直角三角形進(jìn)行有效利用。從這個(gè)角度進(jìn)行分析，雖然有很多種方法都能夠有效地推導(dǎo)出點(diǎn)到直線之間的距離，但是教材當(dāng)中的推導(dǎo)方法不僅最簡(jiǎn)潔，而且也使得學(xué)生能夠非常容易地進(jìn)行聯(lián)想。第二，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的有效思想進(jìn)行重新體會(huì)。讓學(xué)生從幾何到代數(shù)進(jìn)行有效的思維轉(zhuǎn)化，對(duì)坐標(biāo)系所能夠起到的工具作用進(jìn)行有效的體會(huì)。當(dāng)P2P1的方向向上時(shí)，教材當(dāng)中只展現(xiàn)了圖形，對(duì)其推導(dǎo)的過(guò)程進(jìn)行了省略，這樣便能夠讓學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考完成相關(guān)公式的推導(dǎo)，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)的方法進(jìn)行鞏固，在這一推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生能夠更好地體會(huì)到直線斜率的客觀存在，與直線上任意兩點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān)系。

針對(duì)教材當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研讀，找出其規(guī)律和內(nèi)涵，有效地進(jìn)行解讀，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行更好的理解和掌握。教師要重視教材內(nèi)容，重視學(xué)生對(duì)教材的應(yīng)用和理解。