分類討論思想在高中數學解題中的應用

江西省贛州市第三中學 明小青

高中數學中包含分類討論思想的知識點有：集合、不等式的求解、函數、概率、數列、圓錐曲線方程、空間向量、推理與證明等。研究發(fā)現，這類題的失分率往往較高，究其根本，還是學生沒有充分掌握分類討論的使用方法和原則，無法形成具有邏輯性、綜合性、緊密性的思維，因而使得出題老師有空而入。

一、分類討論思想的作用與原則

首先對分類討論思想的原則與作用進行說明，以便讀者能夠對此有一個較為清晰的認識。在做數學題時，在進行到某一步或者某一過程時，常會遇到無法再像前面那樣用同樣的方法做出答案的情況，因為這時根據已知條件，后面的問題會包含不止一種情況和解題方向。因此學生就要根據題中所給的使用條件正確劃分區(qū)域，然后在這些小區(qū)域中解題，這便是數學中的分類討論。

（一）分類討論的原則

1.在分類時要劃分完全，確定問題涉及的整個區(qū)域，不要重復，也不要遺漏。

2.在同一個區(qū)域中要按照統(tǒng)一標準進行討論。

3.分類要逐步逐級進行，不要使討論順序混亂。

（二）分類討論的步驟

1.針對本題確定討論對象與范圍。

2.確定分類的標準，對問題進行合理劃分。

3.逐步分類進行，同級之間不得越級，得出階段性結果。

4.用同級標準對結果進行篩選。

5.歸納總結。

（三）分類討論的因素

1.概念、定理、規(guī)律所引發(fā)的分類討論。一般情況下，數學定律中都會自帶分類討論的因素，需要學生進行分類歸納。

2.由數學的多級運算引發(fā)的分類討論。例如數學中常用的運算符號“≠、＞、＜”，在進行這類題的計算時，學生應當注意分類的多樣性，考慮到各個方面。

3.含有未知數的問題，由未知數引發(fā)的分類討論。對于參數問題，學生應該注意簡化，盡量規(guī)避分類討論。

古人常說：“物以類聚，人以群分?！焙侠砝梅诸愑懻撍枷虢忸}，將不同的問題逐步討論，能大大節(jié)約做題時間，并且能較為清晰地表現出答題者的邏輯思維，提高解題效率。掌握了分類討論思想，就意味著掌握了一半的數學難題，高中學生更要對此類方法爛熟于心，對它的原理以及規(guī)則能夠運用得當。

二、分類討論思想在數學題中的實際應用

1．在集合中的運用

集合運算通常包括元素與集合的關系、集合與集合的關系，在實際解題過程中，學生要對其進行分類討論，特別是遇到待定系數時，需要我們對參數進行分類才能求解，因此學生要仔細分類，避免遺漏。

例如，含有待定系數的集合求解問題：已知集合A={X|X2-3X-10≤0}，B={X|M+1≤X≤2M-1，M為常數}，若A B，求實數M的取值范圍。

分析：A B說明B是A的子集，即集合B 中的所有元素都在集合A中，要注意B是兩種情況。

由A={X|X2-3X-10≤0}，得到A={-2≤X≤5}。

因為A B,所以有：

①當B＝?時，則M+1＞2M-1，即M＜2，此時滿足A B。

②當B≠?時，又分為M+1≤2M-1;-2≤M+1;2M-1≤5。解得2≤M≤3。

由①和②得，M≤3。

2．在函數中的運用

函數中所用到的分類討論主要是針對指數函數、對數函數、三角函數等按照特定底數或者參數分別討論，求出最小值或者最大值，下面舉例進行說明：

函數的定義域為一切實數，則實數a的取值范圍為？

分析：由題意得對x∈R恒成立，分a=0和a＞0兩種情況進行討論。

3．在數列中的運用

數列中主要是對公比q，公差d,項數n的討論，很多學生在做這類題時很容易忽略一些情況而解答不全，下面舉例說明：

已知數列{an}的前n項和Sn=3n+b，求數列{an}的通項公式。

本題已知數列的前n項和，求an時要注意兩點：①對n=1和n≥2進行討論，特別注意“an=Sn-Sn-1”中要求“n≥2”；②由Sn-Sn-1=an推得的an，驗證n=1時，也適合an的表達式，則通項公式必須合寫；若a1不適合an的表達式，則通項公式應該寫為

分析：a1=S1=3+b,當an=Sn-Sn-1=2×3n-1。

當b=-1時，a1適合等式；當b≠-1時，a1不適合等式。

∴當b=-1時，an=2×3n-1；

當b≠-1時，

在高中數學問題中，如果所要討論的問題包含多種情況，那么就要抓住問題中的主干部分，確定條件的變化范圍和考查方向，根據情況分類討論，最后進行思路整合。在運用分類討論的方法時，要樹立分類的意識，在頭腦里建構完整的知識體系，通過不斷地訓練明確應該從哪個方面分類、如何開展研究。在解答的過程中，要充分利用分類討論建設自身思維能力，對比解答。

從上面的舉例可以看出，分類討論思想在數學中的范圍之廣、作用之大，然而現代高中生對此方法的掌握并不熟練。在使用分類討論的方法時，一定要注意對問題進行正確分區(qū)，解題時要逐級探討，學生要培養(yǎng)自己的思維習慣，靈活地利用已知條件進行求解，提升解題的嚴謹性和縝密性。

[1]皇甫琴．分類討論思想在解題中的應用[J]．考試周刊，2012（65）．

[2]閔祝偉．例談“分類討論思想”在解題中的應用[J]．數友之家，2013（8）．