體驗分析問題的過程，感悟解決問題的多樣化策略
——解決雞兔同籠問題方法策略分析

甘肅省合水縣西華池小學 湯潤會

問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這是大約一千五百年前，我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中的一道數(shù)學趣題——“雞兔同籠”問題。這道題的意思是：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。問雞和兔各有幾只？“雞兔同籠問題”是人教版小學數(shù)學四年級下冊數(shù)學廣角中的題目，這類題目包含的題型多，學生只有經(jīng)歷、體驗了不同思路下解決問題的過程，感悟了解決問題的策略及方法的多樣化，才能正確地解答雞兔同籠問題的變式題目。由于原題中的數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問題的學生進行探究，教材中滲透了“化繁為簡”的思想，編排了數(shù)據(jù)比較小的題目例1：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。問雞和兔各有幾只？在教學中，我采用以下幾種方法來加深學生對題意的理解，培養(yǎng)學生探究新知的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生解決實際問題的能力。

1.猜測法。猜測法是探究解決此類問題的基礎(chǔ)。如解答例題時，學生可以通過猜測。雞的只數(shù)可能有1，2，…，7，共七種答案，則兔的只數(shù)可能對應有7，6，…，1，還是七種答案。經(jīng)過驗證，只有雞3只、兔5只的答案是正確的。至此，教師可以繼續(xù)追問：“如果數(shù)據(jù)變大了，還能用猜測法嗎？”使學生認識到這種方法效率低，不具有普遍性。

2.列表法。列表法是猜測法的延伸。當學生通過猜測進一步明確了題目的數(shù)量關(guān)系，對頭數(shù)與腳數(shù)的對應變化有了一些感悟后，再引導學生嘗試列表法，并完成下表：

通過列表，讓學生發(fā)現(xiàn)，雞有3只，兔有5 只，符合題意。學生經(jīng)歷了有序列表以后，逐步發(fā)現(xiàn)和形成列表法是解決雞兔同籠問題的簡單策略，并且認識到如果數(shù)據(jù)太大，列表法太費時間，具有一定的局限性。

3.假設法。假設法是更具有邏輯性和一般性的解法。讓學生先假設全部是雞，則共有16只腳，比題目中數(shù)據(jù)少了10只。追問學生：“為什么少算腳了？少在誰身上了？”經(jīng)過討論，學生明確少在兔身上，一只兔少算了2只腳，則5只兔少算了10只腳。因此，兔有5只，雞有3只。列算式為：8×2=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），10÷2=5（只），8-5=3（只）。

還可以先假設全部是兔，則共有32 只腳，比題目中的數(shù)據(jù)多了6只腳。追問學生：“為什么多算腳了？多在誰身上了？”經(jīng)過討論，學生明確，多在雞身上，一只雞多算了2只腳，則3只雞就多了6只腳。因此，兔有5只，雞有3只。列式為：8×4=32（只），32-26=6（只），4-2=2（只），6÷2=3（只），8-3=5（只）。

通過分析比較，讓學生明確，如果假設的是雞的只數(shù)，先算出來的就是兔的只數(shù)；如果假設的是兔的只數(shù)，先算出來的就是雞的只數(shù)。學生經(jīng)歷了“假設——計算——推理——解答”的過程，體驗到假設法是解決此類問題的算術(shù)解法中較為普遍的一種解法。

4.抬腿法。抬腿法其實是假設法的一種，它是古人解決雞兔同籠問題的一種簡便方法。讓例題中籠子里的雞抬起一只腳，兔抬起兩只腳。這時雞和兔腳的總只數(shù)只剩一半，即13只。并且從下面數(shù)每只雞只剩一只腳，每只兔只剩兩只腳。籠子里只要有一只兔，則腳的總數(shù)比頭的總數(shù)多1，這時腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差是5，就是兔的只數(shù)。列式為：26÷2=13（只），13-8=5（只），8-5=3（只）。

抬腿法解決雞兔同籠問題，更為有趣、簡便，學生更容易理解，在這里還能體會到古人的聰明才智。

5.方程法(主要針對教師)。雖然本單元列方程解應用題學生還沒有學，但是，在隨后的五年級上冊中將要接觸到。并且在以后的學習中，將會大量運用到列方程解應用題的方法。在這里可以讓學生進行了解，激發(fā)學生的學習興趣。對教師而言，是一種探索和研究。

雞兔同籠問題列方程解可以有兩種方法：一是設一個未知數(shù)，列一元一次方程解答；二是設兩個未知數(shù)，列二元一次方程組解答。例題中，如果設一個未知數(shù)，設雞有x只，則兔有（8-x）只，可列方程為：2x+4×（8-x）=26，解得x=3，8-x=5（只）。

或者設兔有x只，則雞有（8-x）只，可列方程為：4x+2×（8-x）=26，解得x=5 ，8-x=3（只）。

如果設兩個未知數(shù)，雞有x只，兔有y只，可列方程組為：解得x=3，y=5。

引入方程法，不僅可以開闊學生的知識視野，還可以為以后的學習做好鋪墊。

總之，學生通過猜測、列表的方法，把抽象的問題直觀化，加深了對題意的理解。經(jīng)歷了假設、列方程的方法，明確了題目中的數(shù)量關(guān)系，體驗到了解題策略的多樣化。體驗了抬腿法后，進一步感受到了數(shù)學學習的趣味性。在學生的數(shù)學學習中，建立了相關(guān)的數(shù)學模型，掌握了解決雞兔同籠問題的多種策略，使得思維復雜，難以掌握的奧數(shù)題目變得簡單起來。