買酒還瓶

興趣數學社團活動課上，老師向我們推薦了一個題目：

某飯店啤酒2元一瓶，2個空瓶或4個瓶蓋均可換1瓶啤酒，問10元錢可喝幾瓶啤酒？

感覺此題只要有足夠的耐心、細心，一定能搞定.下面是我的求解過程.

第1步：10元買5瓶啤酒，喝完后，此時共喝酒5瓶，有5個空瓶和5個瓶蓋.

第2步：4個空瓶換2瓶啤酒，4個瓶蓋換1瓶啤酒后，剩下1個空瓶和1個瓶蓋，新增3瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒8瓶，新增3個空瓶，3個瓶蓋.加上原來剩下的1個空瓶和1個瓶蓋，此時共有4個空瓶和4個瓶蓋.

第3步：4個空瓶換2瓶啤酒，4個瓶蓋換1瓶啤酒后，新增3瓶啤酒.沒有原來剩下的空瓶和瓶蓋.喝完后，此時共喝酒11瓶，新增3個空瓶，3個瓶蓋，此時共有3個空瓶和3個瓶蓋.

第4步：2個空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個空瓶和3個瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒12瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.加上原來剩下的1個空瓶和3個瓶蓋，此時共有2個空瓶和4個瓶蓋.

第5步：2個空瓶換1瓶啤酒，4個瓶蓋換1瓶啤酒后，新增2瓶啤酒.沒有原來剩下的空瓶和瓶蓋，喝完后，此時共喝酒14瓶，新增2個空瓶，2個瓶蓋.此時共有2個空瓶和2個瓶蓋.

第6步：2個空瓶換1瓶啤酒，剩下2個瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒15瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.加上原來剩下的2個瓶蓋，此時共有1個空瓶和3個瓶蓋.

若飯館老板不允許賒賬，最多能喝15瓶酒.整個過程如圖1所示：

數一下▲可以看出：若飯館老板不允許賒賬，最多能喝15瓶酒.

若飯館老板允許賒賬呢？

先向飯館老板賒一個空瓶，加上原來剩下的1個空瓶和3個瓶蓋，此時共有2個空瓶和3個瓶蓋.

第7步：2個空瓶換1瓶啤酒后，剩下3個瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒16瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.加上原來剩下3個瓶蓋，此時共有1個空瓶和4個瓶蓋.

第8步：4個瓶蓋換1瓶啤酒，剩下1個空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒17瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.此時共有2個空瓶和1個瓶蓋.

第9步：2個空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒18瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.加上原來剩下1個瓶蓋，此時共有1個空瓶和2個瓶蓋;再向飯館老板賒2個瓶蓋，加上原來剩下的2個瓶蓋，此時共有1個空瓶和4個瓶蓋.

第10步：4個瓶蓋換1瓶啤酒，剩下1個空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒19瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.此時共有2個空瓶和1個瓶蓋.

第II步：2個空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時共喝酒20瓶，新增1個空瓶，1個瓶蓋.加上原來剩下1個瓶蓋，此時共有1個空瓶和2個瓶蓋;正好把1個空瓶、2個瓶蓋還給飯館老板，手中再無資產，也無欠款，兩清，完美解決.

綜上所述，若飯館老板允許賒賬，最多能喝20瓶酒.整個過程如圖2所示：

問題雖然得以解決，但卻解決得不夠漂亮.思考過程復雜反復，一不留神就會出錯，能否有簡單一點的解決方法呢？注意到在能賒賬的情況下，10元錢恰好能喝20瓶酒，若能說明2元錢能喝4瓶啤酒，也就能說明10元錢恰好能喝20瓶酒了.去柜臺對老板說：“老板，拿4瓶啤酒.”喝完后剩4個空瓶，4個瓶蓋，此時欠老板4瓶啤酒錢.但4個空瓶頂賬2瓶啤酒，4個瓶蓋頂賬1瓶啤酒，所以相當于還了老板3瓶啤酒錢.這時手里空空如也，既沒有空瓶，也沒有瓶蓋，但還欠老板1瓶啤酒錢，這時給老板2元錢即可，也就是說，2元錢能喝4瓶啤酒，問題得以簡化解決.

問題到此結束了么？我忽然想起買櫝還珠的故事，一下激發了我的靈感.事實上我們消費的只是酒水，空瓶和瓶蓋我們是不需要的.這樣來看的話，因為一瓶啤酒2元，2元錢能購買的所有價值包括了一瓶酒水、一個空瓶和一個瓶蓋.因為兩個空瓶可換一瓶啤酒，也就是說一個空瓶的價值相當于1元錢.4個瓶蓋可換1瓶啤酒，也就是說一個瓶蓋的價值相當于0.5元錢.用1瓶啤酒的2元錢，減去一個空瓶的1元錢，一個瓶蓋的0.5元錢，剩下的一瓶酒水的實際價值是0.5元錢.因為我們只消費酒水，10÷0.5=20，所以我們最多能喝20瓶啤酒.

至此，問題可稱得上得以完美解決.

指導老師王懷興評語 從不允許賒賬最多能喝15瓶啤酒的推理中，足見楊杰同學思維的細膩和縝密，且能從傳統文化買櫝還珠的故事中獲得靈感，可見楊杰同學文理兼修，值得鼓勵.