挖掘定點決定因素，另辟蹊徑巧妙解題

王磊 王成功

在解決直線和圓的問題時，大家的解題思路往往受到方程思想的禁錮，只會一味地設方程、列方程（組）來解決問題，導致有些問題解決起來既繁又雜，甚至做不出來，本文將介紹一類直線與圓中的定點問題，挖掘隱含定點，另辟蹊徑，即可輕松解決.

一、定點與參數范圍

例1 已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）不過第四象限，求k的取值范圍.

閱讀完題干，大部分同學很困惑，不知從哪下手解決問題，對參數進行討論是很多同學可能會想到的一個途徑，但是討論分類的依據是什么？往哪方面去討論都沒有明確的方向.

此時，如果我們結合問題——求k的取值范圍，把已知直線方程的k提取公因式，不難發現，方程可化為k（x+2）-y+l=0，不難發現，直線必過定點（-2，1），因此直線不過第四象限，通過圖象易得，直線在y上的截距必須大于等于l.

解 因為直線kx-y+1+2k=0（k∈R）可化為k（x+2）-y+l=0，必過點（-2，1），所以直線不過第四象限，所以2k+l≥1，k≥0.

本題如果不挖掘隱含的定點問題，雖然也能通過設出方程，分別求出兩坐標軸上的交點來解決，但是計算量比較大也容易導致錯誤.

二、定點決定位置關系

例2直線l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0與圓x²+y²+2x-6y-15=0 的交點個數是_______.

對于本題同學們拿到手就有不少思路，思路一：求出圓心到直線的距離，再比較距離和圓半徑的大小關系進行判斷;思路二：聯立方程組，利用判別式判斷方程組的解的個數.

這兩種思路顯然都可以解決本題，但是第一種做法距離含有參數，第二種解二元二次方程組計算量太大，顯然這兩種方法都不簡潔.

當我們把直線方程處理成（3x-2y+4）m++x+3y-17=0，可知直線必過直線3x-2y+4=0與x+3y-17=0的交點，只需要判斷計算該定點在圓外、圓上還是圓內即可.

通過判斷定點與圓的位置關系，顯然是解決本題的一條捷徑，

例3圓x²+y²-4x+6y=0與圓x²+y²-6x=0相交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是_________.

本題很多同學的解決辦法是，聯立方程組求出交點A，B及兩點所在直線的斜率，再求中點，根據兩直線垂直的斜率之間的關系，確定垂線的斜率，進而得到直線的方程.然而，這樣做計算量已經很大了，根據圓的性質可知，兩圓相交時，兩圓心的連線垂直平分公共弦，因此所求直線必然過兩個圓的圓心，這樣無需解方程，直接將點代人直線方程即可，

解 因為圓x²+y²-4x+6y=0與圓x²+y²-6x=0的圓心分別是（2，-3）和（3，0），所以兩圓交線的垂直平分線即為過（2，-3）和（3，0）的直線，易得直線方程為3x-y=0.

三、挖掘定點，巧設方程

例4 求經過直線l₁：2x+3y-5=0 和直線l₂：3x-2y-3=0的交點，且與直線2x+y-3=0平行的直線方程.

解決本題可以先聯立方程組，求出交點，再結合與已知直線平行，求出直線斜率，進而求出直線方程，這樣必需解方程組，難免會有一定的計算，既然所求直線必過兩直線的交點，那么可通過設過兩條直線交點的直線系方程，再結合與已知直線平行，無需解方程組即可解決本題.

利用過兩條直線交點的直線系方程，可以在不求交點的情況下輕松求直線方程，

例5 已知兩圓M：x²+y²=10和圓Nx²+y²+2x+2y-14 =0，求過兩圓交點，且圓心在直線x+2y-3=0上的圓的方程，

本題很多同學的思路是，先聯立方程組，求出兩圓交點，再設出圓心，進而利用圓心到兩交點的距離相等，再解方程，得出圓心和半徑，進而求出圓的方程.這種做法需要多次解方程組和解方程，計算量很大，根據過兩圓交點的圓系方程，我們可以直接設出直線方程，進而得出圓心，把圓心直接代人直線方程即可求出圓心和所求圓的方程.

通過以上幾例，我們不難看出在解決直線與圓等有關問題時，如果所給條件或者是多求問題含有定點，充分挖掘出定點，發揮定點在問題中的作用，就可以另辟蹊徑解決問題，這樣在多數情況下，都可以起到少解方程少計算，甚至直接得出答案的作用.