老師，我怎么學會思考
——函數與性質篇

王思儉

函數是高中數學的重要內容，也是高考必考的知識點，難度通常處于中檔偏上，但考生通常會問：

老師，我就是不理解函數迭代，對于f（f（x））類問題屢做屢錯，怎么辦？

分界點不確定的分段函數題如何思考？這個條件怎么使用？這類函數圖象該怎么畫？

含絕對值的函數問題怎么這么難？

為此，我邀請幾位同學就“函數與性質篇”進行交流，旨在引導學生深刻理解函數概念，靈活運用函數性質，啟迪他們的數學思維．

第（1）小題會做，利用分類討論思想，不等式f（x）＜0的解集是（1，4）．但第（2）小題兩個函數的分界點是可變的，我不知道怎樣去畫圖，該怎么做呢？

教師：對于分界點不確定的分段函數，你們可以先作出兩段函數的圖象，然后移動分界點，找出適合本題的答案，要學會用運動的觀點思考數學問題．

生甲：先作出函數y＝x－4與y＝x2－4x＋3的圖象，求出前者有一個零點4，后者有兩個零點1和3，再由數形結合得，當λ＞4時，函數f（x）恰有2個零點．

圖1

生乙：答案不全，當1＜λ≤3也符合要求．其實本題可以繼續探究：當3＜λ≤4時，f（x）恰有3個零點；當λ≤1時，f（x）恰有1個零點．

教師：很好！生乙研究其他零點的情況，探究性學習是學會數學思考的一個重要環節．你們可以發現嗎？函數y＝x－4與y＝x2－4x＋3沒有交點，如果有交點，情況如何？請看變題：

生甲：利用數形結合思想求解，函數y＝x＋1有一個零點－1，y＝x2－4x＋3有兩個零點1和3，作圖可得，－1≤λ＜1．

教師：正確！本題容易遺漏左端點－1．如將問題改為：

若存在實數c使得函數g（x）＝f（x）－c有3個零點，則λ的取值范圍是________．

本題是存在實數c，你們怎么去思考？又如何求解？

生甲：這題有c和λ兩個參數，不知道移動哪一個參數？

教師：由于是存在實數c，作出兩段函數圖象，先移動y＝c，看看在何處時，它與兩個函數圖象有三個交點，然后再移動分界點x＝λ，這樣思考是否可以求出來了？

生丙：因為f（2）＝f（－2）＝－1，要使g（x）＝f（x）－c有3個零點，等價于y＝f（x）與y＝c必有3個不同交點，結合圖象知，－2＜λ＜1．

教師：很好！原題和變題中的分段函數的分界點是參變量，每段函數都是確定的，也可以改為，某一段函數解析式中含有參數，再研究相關問題．請看變題：

生丁：類似上述變題，一次函數在x＝0處的函數值為a，二次函數在x＝0處的函數值為3，問題轉化為函數y＝f（x）與y＝2a－1必有3個不同交點，結合圖象知，－1＜2a－1＜a，即0＜a＜1．

教師：很好！還是從動態觀點出發尋找解題的突破口．當然如果分段函數中兩個函數都含有參數，又可以改編為一道新的題目（參見實戰演練3）．

生乙：已知函數f（x）＝x2＋（2a＋1）x＋a2，若f（f（x））≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

如果把f（f（x））整理成四次函數，根本無法求解．

教師：這是函數迭代問題，它的含義是對應法則f再一次對函數值f（x）作用后，輸出的結果是f（f（x）），這時我們可以將f（x）看成整體t，問題轉化為f（t）≥0在一定范圍內恒成立．

生甲：令t＝f（x），不等式轉化為t2＋（2a＋1）t＋a2≥0恒成立，于是判別式Δ≤0，求得

生戊：不對！還應該考慮t的取值范圍，t的范圍就是函數f（x）的值域，即因此問題等價轉化為t2＋（2a＋1）t＋a2≥0在恒成立．首先考慮判別式Δ≤0；其次考慮Δ＞0時，對稱軸的位置必須在指定區間的左側，同時區間端點對應的函數值非負，于是就有不等式組解之得

綜上所述，a的取值范圍為

教師：分析到位，答案正確！

股骨頭壞死的發病率逐年上升，且呈年輕化趨勢，給患者日常生活帶來影響。股骨頭壞死發生的因素有很多，主要原因是缺血，且具有很長的潛伏期。對于此類患者來說，其發生病理改變主要有2個階段，初階段，由于患者細胞缺血，骨髓細胞與骨細胞會大面積死亡，從而導致股死亡；修復階段，患者骨與血管會再生，骨小梁吸收[3-4]。因此，患者在發病初期，并不會出現明顯的癥狀，發生癥狀時，已經確診為晚期，導致患者錯過了最佳治療機會，影響其預后效果及生活質量。臨床資料顯示，股骨頭壞死患者的治療效果，會受到患者病情嚴重程度、壞死范圍影響。所以，只有早日診斷疾病，才能盡早接受治療。

我拿到這道題一下子全蒙了，不知道如何下手，不知道從哪里考慮問題．

生?。何揖驼J為a2－2a＝3a－1，求出，直覺告訴我，a還應該有其他的值，但不知道怎樣考慮．

教師：你可以對n先試驗幾個值，如n＝1，2，作出函數的圖象，研究函數的對稱性、單調性等，然后再將問題轉化為相關的方程或不等式．

生戊：當n＝1，2時，通過對函數f（x）的研究，發現f（x）的圖象關于直線對稱，于是可以證明對一般情況也成立，同時當0≤x≤1時，f（x）＝（n＋1）2為常函數，因此當x≥1時，f（x）單調遞增；當x≤0時，f（x）單調遞減．由對稱性知a2－2a＋3a－1＝1，解之得，a＝－2或a＝1．所以a的值為a＝－2或a＝1或

教師：答案雖然是對的，但過程不嚴謹．你們想一想，如果a2－2a，3a－1都在［0，1］內時，f（a2－2a）＝f（3a－1）是不是也成立呢？要不要考慮呢？

眾生：應該考慮，但我們都疏忽了！但這種情況無解．

1．函數的性質（如定義域、函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性等性質）是什么？

2．能否作出函數圖象？怎樣作出函數圖象？是描點作圖還是平移變換（或伸縮變換）作圖？

3．題目中哪個是主元？哪個是參數？有幾個參變量？利用什么策略求解？

4．本題涉及哪些知識點？運用哪幾種數學思想方法？能否繼續演變新的問題？

……

實戰演練

3．已 知a∈ R，函數若函數f（x）恰有3個零點，則a的取值范圍是________．

參考答案

1．0≤a≤2．

2．（－1，0）∪ （1，＋∞）．

詳細解析：

1．因為當x≤0時，f（x）＝（x－a）2，又f（0）是f（x）的最小值，所以a≥0．

當x＞0時，f，當且僅當x＝1時取“＝”．

要滿足f（0）是f（x）的最小值，需2＋a≥f（0）＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，

所以a的取值范圍是0≤a≤2．

2．當x＜ 0 時所以f（x）為奇函數，作出函數圖象如圖所示，要使f（m）＞f（－m），即f（m）＞－f（m），f（m）＞0，由圖象可知，m∈ （－1，0）∪（1，＋ ∞）．

圖2