等比數(shù)列的前n項和的學習與應用探究

侯嘉南

摘 要：學習等比數(shù)列的前n項和，公式固然重要，更重要的是要同學們掌握用錯位相減法和定義法推導公式的方法，并在推導中積極的思考，通過等比數(shù)列的前n項和公式的推導過程，體會錯位相減法以及特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)自己觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力，從而形成學生自己的獨特的數(shù)學思想和解題方法，逐步認識到數(shù)學的科學價值和應用價值。

關鍵詞：等比數(shù)列的前n項和；錯位相減法；分類討論；類比與轉化

國際象棋起源于印度，關于國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者西薩，問他有什么要求。西薩說：“請在棋盤的第1個格子里放上一顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，依此類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒的2倍，直到第64個格子。”國王不假思索地說：“這太簡單了！”馬上就吩咐手下馬上去辦。過了好久，手下人驚慌失措地跑過來，報告國王：“不好了！不好了！”國王聽完報告之后也傻眼了。你猜這是怎么回事？原來按照國際象棋發(fā)明者西薩的要求，經(jīng)過計算，即便把印度近幾十年生產(chǎn)的所有麥子加起來也不夠給這位西薩的。

從給出一顆麥粒開始，到第64個格子就給出了自己的江山嗎？國王糊涂了，傻了。

這就是等比數(shù)列的前n項和的運用，是進一步學習數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。那么到底要給西薩多少麥子呢？等比數(shù)列的前n項和的計算公式如何推導呢？

寫出麥粒總數(shù)：1+2+22+23+……263

在學習等比數(shù)列的前n項和的計算公式之前，計算這個公式可以用一個笨辦法，那就是用計算器依次算出各項的值，然后再求和。但是這個辦法僅適用于有限的項數(shù)，太多了就計算不出來了。這就需要學習公式，需要清楚這個數(shù)列的特點，明白這是一個什么樣的數(shù)學問題。

很明顯，稍作仔細觀察我們就能發(fā)現(xiàn)，在1+2+22+23+……263這個數(shù)列里面，每一項都有明顯的特征，那就是后一項都是前一項的2倍。

探究1：設1+2+22+23+……263，記為（1）式，

探究2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2，則有2S64=2+22+23+……263+264，記為（2）式。

比較（1）（2）兩式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

數(shù)學的思維就是這樣神奇，貌似復雜難解甚至無解的題目，一旦轉換一下思維，整個情況就會完全改觀，變得簡單明了易解。推導等比數(shù)列前n項和的公式，比較（1）（2）兩式，關鍵是變“加”為“減”，而這簡單的一個變“加”為“減”，在教授知識的教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在作為被動接受知識的學生看來卻是“不可思議”的，這就是學習等比數(shù)列前n項和公式推導時需要著力的地方，也正是培養(yǎng)辯證思維能力的良好契機。經(jīng)過比較、研究，學生能發(fā)現(xiàn)：（1）（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S64=264-1，這就是錯位相減法。

縱觀全過程，錯位相減關鍵是（1）式兩邊都同乘以了2。那么反思一下：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

我們可以將結論一般化，設等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q，如何求前n項和Sn？學生可以嘗試自主探究，從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，自己探究公式，從而體驗到學習的快樂和成就感。

探究：由（1-q）Sn=a1-a1qn得Sn=對不對？

這里的q能不能等于1？

等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時是什么數(shù)列？

此時Sn=？

得出結論：因為等比數(shù)列的前n項和是在學習了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式的基礎上進行的，所以結論比較容易推導。結合等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1，如何把Sn用a1、an、q表示出來？最后得出公式：

Sn=na1， q=1=， q≠1

學會公式推導之后，要再加強練習。通過多層次的練習，加深學生對知識的理解，同時使學生養(yǎng)成多元反饋看自己的習慣。

例1：求等比數(shù)列，，，，…前10項和；

等比數(shù)列，，，，…前多少項的和是；

已知等比數(shù)列，，，，…求第5項到第13項的和；

已知等比數(shù)列，，，，…求前2n項中所有奇數(shù)項的和。

然后，再嘗試自己編一道等比數(shù)列求和的問題，這樣做的好處在于使同學們不會拘泥于完成幾道題目就可以了，而是能夠把知識學活，舉一反三，有利于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)造力及自學能力。

《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”高中生正好處于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)期，應嘗試多種活動，在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。學習等比數(shù)列的前n項和，公式固然重要，更重要的是要同學們掌握用錯位相減法和定義法推導公式的方法，并在推導中積極的思考，通過等比數(shù)列的前n項和公式的推導過程，體會錯位相減法以及特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)自己觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力，從而形成學生自己的獨特的數(shù)學思想和解題方法，逐步認識到數(shù)學的科學價值和應用價值。