內(nèi)容效度與設問方式：階段檢測命題的關鍵點
——以三道七上期中測試題為例

☉上海市市西初級中學陳瑋祺

得益于網(wǎng)絡與信息社會的便利通達，我們能在一些網(wǎng)站、QQ群共享、自媒體公眾號中看到大量全國各地、名校階段檢測考卷、期中卷、期末卷，但是往往質(zhì)量不太高，“同質(zhì)化”（本質(zhì)上互相摘引）傾向非常嚴重.最近在網(wǎng)上收集到據(jù)稱“人大附中”七上期中測試卷，對該試卷中最后3道解答題很感興趣，花了較長時間研習賞析.本文整理出來，以供更多同行討論.

一、好題共賞析

題1：小明喜歡研究數(shù)學問題，在計算整式加減（-4x2-7+5x）+（2x-3+3x2）的時候，想到了小學的列豎式加減法，令A=-4x2-7+5x，B=2x-3+3x2，然后將兩個整式關于x進行降冪排列，A=-4x2+5x-7，B=3x2+2x-3，最后將其各項系數(shù)對齊，對同類項進行豎式計算，如下：

若A=-4x2y2+2x3y-5xy3+2x4，B=3x3y+2x2y2-y4-4xy3，請你按照小明的方法，先對整式A、B關于某個字母進行降冪排列，再寫出其各項系數(shù)，進行豎式計算：A-B，并寫出A-B的值.

思路概述：對A、B按字母x進行降冪排列，如下：

將其各項系數(shù)對齊，對同類項進行豎式計算，如下：

所以，A-B=2x4-x3y-6x2y2-xy3+y4.

賞析：把豎式計算引進到整式加減是很有意義的類比、遷移，掌握這項技術的關鍵是“主元思想”“降冪排列”.這種豎式計算不但在整式加減中有效，在以后學習一元多項式的除法時也能發(fā)揮獨特的作用.

題2：關于x的多項式k（k+1）x3+kx2+x2-4x-3是關于x的二次多項式.

（1）直接寫出k的值為________；

（2）若該多項式的值為2，且規(guī)定【a】表示不超過a的最大整數(shù)，例如【2.3】=2，請在此規(guī)定下求【2019k-x2+2x】的值.

思路概述：（1）k=0（.注意，因為要考慮關于x的二次多項式，故k=-1應舍去）

（2）把k=0代入多項式，得x2-4x-3.

賞析：這道題第（1）問考查了多項式的次數(shù)、項數(shù)，且需要對待定系數(shù)k的兩個值進行取舍；第（2）問先考查了化簡后的整體代入求值，然后綜合了有理數(shù)的一個知識點，所謂“新規(guī)定”，本質(zhì)上就是在比-小的數(shù)中找出符合要求的最大的整數(shù)-3，學生也可以結合數(shù)軸分析.

題3：【定義閱讀】已知數(shù)軸上點A、B所對應的數(shù)分別是-4、4.

對于關于x的代數(shù)式N，我們規(guī)定：當有理數(shù)x在數(shù)軸上所對應的點為A、B之間（包括A、B）的任意一點時，代數(shù)式N取得所有值的最大值小于或等于4，最小值大于或等于-4，則稱代數(shù)式N是線段AB的封閉代數(shù)式.

例如，對于關于x的代數(shù)式｜x｜，當x=4或-4時，代數(shù)式｜x｜取得最大值4；當x=0時，｜x｜取得最小值0. 所以代數(shù)式｜x｜是線段AB的封閉代數(shù)式.

【解答問題】（1）關于x的代數(shù)式｜x-1｜，當有理數(shù)x在數(shù)軸上所對應的點為A、B之間（包括點A、B）的任意一點時，取得的最大值和最小值分別是______、______，所以代數(shù)式｜x-1｜_________（填“是”或“不是”）線段AB的封閉代數(shù)式.

（2）有以下關于x的代數(shù)式：

其中________是線段AB的封閉代數(shù)式，并證明（只需要證明是線段AB的封閉代數(shù)式的式子，不是的不需證明）.

思路概述：（1）當x=-4時，代數(shù)式｜x-1｜取得最大值5；當x=1時，代數(shù)式｜x-1｜取得最小值0.從“形”的角度理解，線段AB上表示x的點，到表示1的點距離最大為5，最小為0，代數(shù)式｜x-1｜不是線段AB的封閉代數(shù)式.

（2）對4個代數(shù)式逐個演算.

②當x=4時，x2+1=17，則x2+1不是線段AB的封閉代數(shù)式.

③當x=4時，x2+｜x｜-8=12，則x2+｜x｜-8不是線段AB的封閉代數(shù)式.

④需要分類討論.由“零點分析法”，得出x=-2，x=1，然后分三個區(qū)間討論：

當-4≤x≤-2時，｜x+2｜-｜x-1｜-1=-4；

當-2＜x≤1時，｜x+2｜-｜x-1｜-1=2x，此時-4＜2x≤2；

當1＜x≤4時，｜x+2｜-｜x-1｜-1=2.

綜上，代數(shù)式｜x+2｜-｜x-1｜-1是線段AB的封閉代數(shù)式.

因為2≤｜x+1｜+2≤7，所以-7（｜x+1｜+2）≤a≤｜x+1｜+2.

取｜x+1｜+2的最小值2代入上式，所以-14≤a≤2.

即有理數(shù)a的最大值是2，最小值是-14.

賞析：這是一道很有挑戰(zhàn)的新定義把關題，將七年級有理數(shù)、數(shù)軸、絕對值、代數(shù)式的化簡求值、分類討論、數(shù)形結合等知識和方法有效融合在一起.特別是第（3）問，我們在上面給出的不等式的處理方法，沒有使用特殊值代入演算、通過猜想發(fā)現(xiàn)答案的方法，命題者正是預設了學生可能會走特值、猜想的思路，所以設問以填空形式呈現(xiàn).

二、對七年級命題與教學的啟示

1.在測試范圍內(nèi)設計綜合題，重視內(nèi)容效度的達成

在我們很多七上階段測試卷、期中卷、期末卷中，把關題或者是以規(guī)律探索題的形式出現(xiàn)，或者是數(shù)軸上幾個動點的相遇與追及方面的較難題，這些考題雖然也部分體現(xiàn)了七年級上冊所學內(nèi)容，但是主要難點并非七年級上冊的新概念或方法，從命題專業(yè)視角來評價，屬于內(nèi)容效度不高.比如，學生在一道規(guī)律探索題中寫出“通式”這一步驟沒有順利貫通，導致丟分，對于診斷該生七年級所學新知（以七上期中命題來看，主要應該考查有理數(shù)概念、運算和整式概念、加減等）來說，這個失分的診斷價值不高.細品以上3道綜合題，對有理數(shù)概念、運算和整式概念、加減的考查都把控得非常精準，學生失分的原因是對進入初中以來所學內(nèi)容的理解不透、不深，我們認為，這樣的評價檢測從內(nèi)容效度上看是精準、有效的.

2.思前想后”的命題立意，引領師生的學習用力點

以上文“題1”為例，命題者從小學所學的豎式運算經(jīng)驗出發(fā)，類比遷移到初中階段整式的加減，通過適當?shù)淖冃握恚ㄔO定主元、降冪排列）后分離系數(shù)，然后運用豎式計算得出結果，并且讓學生模仿解題，既有效考查了多項式的變形整理能力，也向學生傳遞、示范了數(shù)的很多運算經(jīng)驗可以恰當類比遷移到式的學習中.待到八年級學習整式除法時，這種豎式運算的經(jīng)驗在處理一些較難的待定系數(shù)問題時還會顯現(xiàn)獨特的作用.這種命題立意可稱得上“思前想后”，即命題者對上一學段學生所學核心內(nèi)容是清楚的，又對后續(xù)內(nèi)容非常熟悉，這樣在考題素材選擇、問題呈現(xiàn)方式上，就能做到恰到好處，不但實現(xiàn)有效考查的測試目標，又引領了師生日常教學的用力點.

3.預設學生現(xiàn)階段可能解法，精心呈現(xiàn)設問的方式

“題2”“題3”都安排一些填空的形式，這對于解答題來說似乎有些“沖突”，然而細細思考這些問題的解法，不難發(fā)現(xiàn)，對于“題2”第（1）問來說，如果讓學生寫出求k的值的過程，學生需要細致分析k（k+1）=0的兩種可能，超出現(xiàn)階段的要求，而且還要代入多項式進行檢驗，命題者采取了直接填空的設問方式，避免了很多步驟的書寫，節(jié)約了答題書寫時間.“題3”作為全卷最后一題，能夠有時間、精力挑戰(zhàn)這道難題的優(yōu)秀學生不是很多，命題者考慮到優(yōu)秀學生思考的跳躍性，綜合考慮，不糾結于過程步驟（對于最后一問，現(xiàn)階段學生也不太可能熟練、規(guī)范地使用不等式的解法），側重于結果的獲得，所以用填空的方式來考查.這種命題設問的處理技術對于教學的啟示是：教學中，有時我們面對一些較難問題可能的變式拓展、奇異性質(zhì)，不一定要“避開繞行”，適當提示學生課后自主鉆研、發(fā)現(xiàn)結論、嘗試攻克，也是“課堂，向四面八方打開”的一種追求.