試卷講評時對較難考題的教學應對
——以兩道北京考題及變式拓展為例

☉江蘇省如皋市港城實驗學校初中部沈爭光

一、寫在前面

最近一次九年級的階段調研測試中，有一道“較難考題”難住了絕大多數學生，題目如下：

較難考題：在平面直角坐標系xOy中，已知點M（-1，2）、N（2，1），若拋物線y=ax2-x+2（a≠0）與線段MN有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

為了追求較好的講評效果，備課組經過集體打磨，生成如下一份專題復習課案.本文整理出來，供分享和研討.

二、微專題教學課例

例1（2016年北京，改編）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx+m-1與x軸的交點為A、B.橫、縱坐標都是整數的點叫整點.若拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）恰有6個整點，結合函數的圖像，求m的取值范圍.

教學組織：預設如下問題串，啟發學生思考.

問題1：求該拋物線頂點的坐標；（預設：頂點坐標為（1，-1））

問題2：當m=1時，分析線段AB上的整點的個數.（預設：3個）

圖1

在這兩個問題的引導之下，畫出草圖分析，

如圖1，拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）恰有6個整點，可以發現點A應該在（-1，0）與（-2，0）之間（包括（-1，0）），當拋物線經過（-1，0）時，m=當拋物線經過點（-2，0）時，m=于是可確定m的取值范圍為.教學時注意追問學生對這里的“＜”“≤”進行辨析.另外，還可追問學生是否可以把右側的兩個臨界點（3，0）與（4，0）分別代入拋物線的解析式，求出相應的m的值.讓學生理解根據拋物線的對稱性質，它們是一致的.

變式拓展：（2018年山東濟南，改編）若平面直角坐標系內的點M滿足橫、縱坐標都為整數，則把點M叫作“整點”.例如，P（1，0）、Q（2，-2）都是“整點”.拋物線y=mx2-4mx+4m-2（m＞0）與x軸交于A、B兩點，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域（包括邊界）恰有7個整點，分析m的取值范圍.

教學預設：學生獨立思考后，很快能確認拋物線開口向上，頂點坐標為（2，-2），對稱軸是直線x=2.可知點（2，0）、點（2，-1）、頂點（2，-2）一定會在“圍成區域”內，這樣可進一步構造出如圖2～圖4所示的一些草圖分析.

圖2（m=時）

圖3（m=1時）

圖4（m=2時）

接下來，根據m的值越大，拋物線的開口越小，m的值越小，拋物線的開口越大，可得到＜m≤1時，該函數的圖像與x軸所圍城的區域（含邊界）內有7個整點.要注意引導學生辨析“等號”添加的位置.

例2（2018年北京，改編）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a經過點A（-1，0），將點B（0，4）向右平移5個單位長度，得到點C.若拋物線與線段BC恰有1個公共點，結合函數圖像，求a的取值范圍.

教學組織：預設以下問題串，啟發學生獲得思路.

問題1：寫出點B、C的坐標；（預設：B（0，4）、C（5，4））

問題2：求出拋物線的對稱軸；（預設：直線x=1）

問題3：當拋物線與直線BC恰有1個公共點時，分析a的值；（預設：此時拋物線的頂點在BC上，可分析出頂點為（1，4），將頂點坐標代入解析式中，得a-2a-3a=4，解得a=-1）

問題4：當拋物線開口向下時，分析拋物線與線段BC的公共點情況（.預設：0＜a＜-1時，拋物線與線段BC沒有交點；a=-1時，拋物線與線段BC只有1個公共點；當-≤a＜-1時，拋物線與線段BC有2個公共點；當a＜-時，拋物線與線段BC只有1個公共點）

在以上4個問題的引導之下，學生再分析時，就知道要分三種情形討論，分別對應著圖5～7.

圖5

圖6

圖7

①如圖5，當拋物線過點C時，把點C的坐標代入拋物線的解析式，解得a=；

②如圖6，當拋物線過點B時，把點B的坐標代入拋物線的解析式，解得a=-；

③如圖7，當拋物線的頂點在BC上時，此時頂點為（1，4），代入拋物線的解析式，解得a=-1.

變式拓展：在平面直角坐標系xOy中，已知M（-1，2）、N（2，1），若拋物線y=ax2-x+2（a≠0）與線段MN有2個不同的交點，求a的取值范圍.

教學預設：由于這道較難題多數學生都不會，所以預設以下詳細講評.需要分兩種情況研究.

情況1：當a＜0時，拋物線開口向下，此時拋物線的對稱軸在y軸左側，且經過y軸正半軸上的定點（0，2），這樣，只要考慮拋物線經過線段MN的左端點M（-1，2）就行了，只要經過M點，則右側線段MN一定會有另一個交點存在.把M（-1，2）的坐標代入y=ax2-x+2中，解得a=-1.再想清只要a≤-1時，拋物線的張口就很小，一定會與線段MN有2個不同交點.

情況2：當a＞0時，拋物線開口向上，這里先要考慮拋物線與直線MN有兩個不同交點的情況，這需要聯立它們的解析式（注意直線方程是y=-，得到關于x的一元二次方程，計算Δ＞0，得a＜；進一步，再考慮線段MN的端點，這時不需要考慮點M，因為點M在（0，2）的左側，只要考慮線段NM的右端點N（2，1），代入拋物線的解析式，求出a=.故這樣綜合想清≤a＜.

另外，還可借助電腦上一些繪圖軟件生成一些臨界圖形，幫助學生直觀感知上述臨界值的確定，如圖8-12.

圖8（a=0.9時）

圖9（a=時）

圖10（a=時）

三、教后反思

1.“含參”函數題講評時要注意數形互助

近年來，“含參”函數題連續出現在北京、河北、福建等省級中考試題中的把關題或較難題位置，帶來強烈的導向，很多地區的中考命題都積極跟進，產生了很多“含參”函數考題.這類試題的特點就是不給圖像，需要隨著對條件的分析，選取一些特殊點的坐標確定一些臨界圖形的位置，再數形結合分析出字母參數的取值范圍.在上面的復習課例中，我們不但預設了問題串鋪墊設問，也提供了一些“臨界圖形”促進學生更好地直觀理解.值得一提的是，提供臨界圖形要盡可能精準，因為一個精準的圖形往往能啟示解題方向、校正思路，這也是上面我們運用電腦軟件作圖的原因，可以讓學生獲得更好的“視覺”效果.

圖11（a=-1時）

圖12（a=-3時）

2.中考微專題復習宜同類題組變式呈現

《中學數學》（初中版）最近兩年刊發了很多中考微專題復習課，對我們的日常教學非常有幫助，這些課例文章中的教學設計詳細，既有各個教學環節的例題呈現，又有教學預設下的具體的鋪墊設問，有些課例還提供了變式檢測，是非常實用、接地氣的微專題課例，可以直接“拿來”使用.像上文中的這份習題課的教學課例一樣，也是得到相關課例文獻的啟示，對較難題的講評進行了精心準備，收集了同類問題，并以題組形式歸類呈現，漸次推進，變式拓展，通過一系列同類問題的層層遞進，再組織學生共同思考“較難題”，起 到了較好的教學效果，一些成績中等的學生也紛紛表示能理解這道“較難題”.

四、寫在后面

在本文最后，想提及所謂的課題研究，特別是一些“高、大、上”的省、市級課題研究，普通一線教師往往“望而卻步、敬而遠之”.像本文這樣從日常教學中較難題的講評出發，檢索、搜集同類題組，并構思成主題聚焦的微專題教學，想來不但是我們力所能及的，而且能切實解決教學現實問題，這大概也是值得我們重視的“手邊課題”吧.