微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用研究

華冬云

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識在其中得到廣泛的應(yīng)用，尤其以微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用最多，能夠快速、準(zhǔn)確地解決經(jīng)濟(jì)問題。文章從數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)之間存在的密切關(guān)系著手分析，并分析微積分被引入經(jīng)濟(jì)學(xué)之后，邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)得到準(zhǔn)確的定位，最后，分析微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體應(yīng)用，從而促進(jìn)微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：微積分；經(jīng)濟(jì)學(xué)；運(yùn)用

從數(shù)學(xué)知識運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中至今，已經(jīng)由原本運(yùn)用初級數(shù)學(xué)知識，逐漸轉(zhuǎn)變到運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識，而微積分作為高等數(shù)學(xué)知識的重要內(nèi)容，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用非常普遍，其主要是運(yùn)用微積分中的極限、積分以及導(dǎo)數(shù)知識，提高微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用和地位，從而使微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到更為廣泛的應(yīng)用，并促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。

1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的密切關(guān)系

經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識有客觀因素作為基礎(chǔ)。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的主要內(nèi)容是“物的交換”，存在量化規(guī)則，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，需求、價(jià)格以及供給等內(nèi)容都屬于量化概念的范疇。經(jīng)濟(jì)學(xué)揭示事物規(guī)律中通常需要使用數(shù)量進(jìn)行說明，尤其經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展以“理性經(jīng)濟(jì)人”為基礎(chǔ)。經(jīng)濟(jì)人需要在行為上保持理性，可以結(jié)合自身在市場中的處境準(zhǔn)確判斷出自己的價(jià)值，并能夠在不同的場合中，選擇能夠帶給自己最大利益的一方。因此，在數(shù)學(xué)知識中存在最優(yōu)化和求極值的知識，都適合用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中分析不同的最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)發(fā)展效果等問題；同時，對于數(shù)學(xué)知識中求極值的理論與概念知識，都可以在最優(yōu)化的經(jīng)濟(jì)中找到其原型。

數(shù)學(xué)方法本身可以為經(jīng)濟(jì)學(xué)分析與發(fā)展提供可能性。當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究對象為復(fù)雜的事物時，可以利用多變量微積分的相關(guān)知識進(jìn)行分析；導(dǎo)數(shù)以及全微分公式等是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識以及分子手段。將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)學(xué)以及事物等則可以變得非常清晰，不需要使用多余的文字對經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行說明，數(shù)學(xué)方法能夠促使科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論知識等研究成果表達(dá)地更加精確、準(zhǔn)確，檢驗(yàn)最終的結(jié)論與假設(shè)前提條件是否存在一致或是矛盾關(guān)系，從而強(qiáng)化研究成果的準(zhǔn)確性。可以說數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃理論是為經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展而創(chuàng)立，其主要是為探索滿足眾多約束條件的前提下，能夠求得極值的有效條件。經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要任務(wù)，是在生產(chǎn)技術(shù)以及資源約束的前提下，尋求最大化消費(fèi)者效用的有效途徑。

經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)構(gòu)建模型的基礎(chǔ)，并能夠?qū)⒛Ｐ团c現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行比較，通過對比確定該理論是否成立、或是進(jìn)行修改、或是直接摒棄；數(shù)學(xué)知識具有很強(qiáng)的邏輯性，因此，可以從邏輯的角度證明經(jīng)濟(jì)學(xué)面向數(shù)學(xué)化發(fā)展存在可行性，簡單的說數(shù)學(xué)知識可以凸顯出邏輯的一致性特點(diǎn)。此外，數(shù)學(xué)方法可以為經(jīng)濟(jì)學(xué)提供多種形式的積累方式，從而使經(jīng)濟(jì)學(xué)知識得以積累。

2經(jīng)濟(jì)學(xué)中引入微積分，確定邊際分析的地位

2.1宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)體現(xiàn)出的微積分思想

凱恩斯曾揭示失業(yè)和出現(xiàn)經(jīng)濟(jì)危機(jī)的主要原因，即市場中的有效需求不足導(dǎo)致的失業(yè)，而出現(xiàn)需求不足的主要原因是邊際消費(fèi)逐漸減少，導(dǎo)致資本邊際效率和消費(fèi)需求逐漸出現(xiàn)遞減現(xiàn)象，由此引發(fā)的投資需求出現(xiàn)不足。基于此，凱恩斯根據(jù)邊際消費(fèi)的相關(guān)內(nèi)容提出經(jīng)濟(jì)學(xué)中的乘數(shù)原理，且乘數(shù)與邊際消費(fèi)傾向?yàn)檎壤P(guān)系，即乘數(shù)隨著邊際消費(fèi)傾向的增加而增加，隨其減少而減少。因此，為減緩或是消除市場的失業(yè)蕭條現(xiàn)象，國家則應(yīng)積極鼓勵社會成員消費(fèi)，通過增加貨幣數(shù)量的形式降低利率，可以適當(dāng)?shù)卦黾由a(chǎn)者的利潤，致使資本邊際效率得到提高，從而增加投資物品的市場需求，并通過乘數(shù)在市場經(jīng)濟(jì)中的作用，增加市場對消費(fèi)品的需求量。而邊際分析屬于宏觀經(jīng)濟(jì)，從而體現(xiàn)出微積分知識在宏觀經(jīng)濟(jì)中的運(yùn)用。

2.2經(jīng)濟(jì)均衡理論中體現(xiàn)出的微積分方法

描述商品在市場中需求與供給保持一致均衡條件的方式可以稱作是經(jīng)濟(jì)均衡理論，即在經(jīng)濟(jì)生活消費(fèi)者追求商品效用最大化，生產(chǎn)者追求利潤最大化，在這個過程中，追求均衡商品價(jià)格的有效條件。通常分析均衡條件，需要以多變量方程組為基礎(chǔ)，運(yùn)用微積分知識展開對商品在市場供求條件下的邊際分析，從中尋找到均衡商品價(jià)格的條件，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的一般均衡目標(biāo)。經(jīng)濟(jì)均衡的分析思路，是由商品供給、對要素的供給以及人們對商品的需求、對要素的供給進(jìn)行分析，最后到商品市場以及要素市場發(fā)展的一般均衡。在這個分析的過程中，需要使用微積分知識對此展開全面的分析，從而得到準(zhǔn)確的條件，才能促使市場經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡。

3微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用

3.1經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用極限知識

微積分最基礎(chǔ)的知識便是極限，其中大量的理論知識、概念等都通過極限來表達(dá)。高等數(shù)學(xué)高于初等數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵便在于，高等數(shù)學(xué)可以通過極限解決初等數(shù)學(xué)知識無法解決的問題。反觀經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展中，很多內(nèi)容與極限相關(guān)，在此筆者便以連續(xù)復(fù)利計(jì)算中對極限的運(yùn)用為例。設(shè)目前在銀行的存款為a，將來存款值為b，銀行的年利率則為c，則在n年后的本金與利息、將來存款值b的計(jì)算方式應(yīng)為：b=a（1+c）n。若是在一年內(nèi)按照p次計(jì)算復(fù)利，則各個時期的利率則應(yīng)為c/p，而在一年以后本金與利息和的計(jì)算公式則為b=a（1+c/p）p。故而，n年之后本金與利息和為b=a（1+c/p）np。按照微積分中極限知識的角度分析，當(dāng)p為正無窮大時，n年之后的本金與利息和計(jì)算公式為b=lima（1+c/p）np=aeπ，本公式證明在計(jì)算無窮的前提下，現(xiàn)在的存款值與將來存款值之間的關(guān)系。假設(shè)現(xiàn)在存款值a=1，利率c=100%，n=1，根據(jù)上面的計(jì)算公式可得出b=e。該事例向人們證實(shí)，在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)模型中，若是特定的參數(shù)值與特殊數(shù)值相近，尤其是與0或是無窮大接近時，從微積分中極限思想的角度間分析，能夠有效簡化分析和計(jì)算的過程，開拓經(jīng)濟(jì)學(xué)分析的思路。此外，還可以運(yùn)用極限知識計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)中的無窮期貼現(xiàn)值等相關(guān)內(nèi)容。

3.2經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用積分知識

商品機(jī)制和價(jià)格之間出現(xiàn)的差額概念是消費(fèi)者剩余，也可以說是消費(fèi)者按照自身使用商品愿意付出的價(jià)格與實(shí)際付出的商品價(jià)格之間的差額。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，計(jì)算消費(fèi)者的剩余，能夠了解市場經(jīng)濟(jì)主體利益以及市場結(jié)構(gòu)的真實(shí)發(fā)展情況，對于解決市場與商品、消費(fèi)等有關(guān)的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題有著重要作用。市場經(jīng)濟(jì)中有一種結(jié)構(gòu)為需求者有限且對商品的需求為離散型，對于此種結(jié)構(gòu)，消費(fèi)者剩余的計(jì)算方式可以運(yùn)用累加的形式；但是，若是為連續(xù)需求函數(shù)關(guān)系，消費(fèi)者剩余則需要運(yùn)用積分進(jìn)行計(jì)算。同時，積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用，另一個方向則為微分的逆運(yùn)用，主要是利用已知的邊際利潤、邊際成本以及邊際收益的函數(shù)，對其進(jìn)行積分處理，從而得到商品的生產(chǎn)函數(shù)或是需求函數(shù)。可見，積分知識在經(jīng)濟(jì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)發(fā)展中具有重要作用。

3.3經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵成分之一，在數(shù)學(xué)知識作為有效工具與各學(xué)科研究交叉的過程中，導(dǎo)數(shù)知識貫穿始終，同樣，經(jīng)濟(jì)學(xué)中也積極利用導(dǎo)數(shù)知識。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析工作中，占據(jù)重要的位置，推動其變革，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決定量分析中無法解決的困難。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中運(yùn)用具有典型色彩的為經(jīng)濟(jì)變量彈性研究與邊際分析。邊際分析的主要內(nèi)容為邊際利潤、邊際收益以及邊際成本三個方面。可以理解為邊際成本屬于總成本函數(shù)c（q）與產(chǎn)量q之間的導(dǎo)數(shù)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度可以解釋為：若是產(chǎn)量為q，則再次增加一個單位的產(chǎn)量，即△q=1時，總成本的增加則應(yīng)表示為△c（q）。例如：產(chǎn)生的生產(chǎn)單位為q，總成本的計(jì)算函數(shù)則應(yīng)為c（q）=500+0.5q2；若是生產(chǎn)量確定為q0，那么此產(chǎn)品的邊際成本應(yīng)MC按照MC=c/（q0）=q0。若是q值為100，則MC的值為100；若是q值為80，則MC的值為80。由此可知，若是知道利潤函數(shù)和收益函數(shù)，則利用導(dǎo)數(shù)知識分析生產(chǎn)廠商的邊際利潤和邊際收益。

此外，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用還表現(xiàn)在彈性分析方面。函數(shù)自變量的相對變量與相對變量之間商的極限，可以理解函數(shù)在該點(diǎn)上存在彈性。經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的彈性知識，主要用來衡量經(jīng)濟(jì)模型中兩個變量之間的敏感程度，包含商品需求交叉彈性以及需求價(jià)格彈性等。

總結(jié)

微積分是高等數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到廣泛的運(yùn)用，本文中對微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用的認(rèn)識僅是冰山一角。但是，仍舊可以從微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基礎(chǔ)運(yùn)用方式得知，微積分為經(jīng)濟(jì)學(xué)面向定量化、數(shù)學(xué)化發(fā)展奠定基礎(chǔ)，對經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用更高級的數(shù)學(xué)工具起到促進(jìn)作用。因此，數(shù)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的學(xué)者應(yīng)積極探索二者的有效融合。

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編輯/岳鳳