微積分在經濟學中的運用研究

華冬云

摘要：隨著經濟的發展，數學知識在其中得到廣泛的應用，尤其以微積分在經濟學中應用最多，能夠快速、準確地解決經濟問題。文章從數學與經濟學之間存在的密切關系著手分析，并分析微積分被引入經濟學之后，邊際分析在經濟學得到準確的定位，最后，分析微積分在經濟學中的具體應用，從而促進微積分在經濟學中的發展。

關鍵詞：微積分；經濟學；運用

從數學知識運用在經濟學中至今，已經由原本運用初級數學知識，逐漸轉變到運用高等數學知識，而微積分作為高等數學知識的重要內容，在經濟學中應用非常普遍，其主要是運用微積分中的極限、積分以及導數知識，提高微積分在經濟學中的作用和地位，從而使微積分在經濟學中得到更為廣泛的應用，并促進經濟學的發展。

1數學與經濟學的密切關系

經濟學中運用數學知識有客觀因素作為基礎。經濟學研究的主要內容是“物的交換”，存在量化規則，而在經濟學中，需求、價格以及供給等內容都屬于量化概念的范疇。經濟學揭示事物規律中通常需要使用數量進行說明，尤其經濟學的發展以“理性經濟人”為基礎。經濟人需要在行為上保持理性，可以結合自身在市場中的處境準確判斷出自己的價值，并能夠在不同的場合中，選擇能夠帶給自己最大利益的一方。因此，在數學知識中存在最優化和求極值的知識，都適合用在經濟學中分析不同的最優化經濟發展效果等問題；同時，對于數學知識中求極值的理論與概念知識，都可以在最優化的經濟中找到其原型。

數學方法本身可以為經濟學分析與發展提供可能性。當經濟學的研究對象為復雜的事物時，可以利用多變量微積分的相關知識進行分析；導數以及全微分公式等是數理經濟學中最基礎的知識以及分子手段。將數學知識運用在經濟學當中，復雜的經濟學以及事物等則可以變得非常清晰，不需要使用多余的文字對經濟學現象進行說明，數學方法能夠促使科學以及經濟學的理論知識等研究成果表達地更加精確、準確，檢驗最終的結論與假設前提條件是否存在一致或是矛盾關系，從而強化研究成果的準確性。可以說數學中線性規劃理論是為經濟學的發展而創立，其主要是為探索滿足眾多約束條件的前提下，能夠求得極值的有效條件。經濟學的主要任務，是在生產技術以及資源約束的前提下，尋求最大化消費者效用的有效途徑。

經濟理論基礎是經濟計量學構建模型的基礎，并能夠將模型與現實生活進行比較，通過對比確定該理論是否成立、或是進行修改、或是直接摒棄；數學知識具有很強的邏輯性，因此，可以從邏輯的角度證明經濟學面向數學化發展存在可行性，簡單的說數學知識可以凸顯出邏輯的一致性特點。此外，數學方法可以為經濟學提供多種形式的積累方式，從而使經濟學知識得以積累。

2經濟學中引入微積分，確定邊際分析的地位

2.1宏觀經濟學體現出的微積分思想

凱恩斯曾揭示失業和出現經濟危機的主要原因，即市場中的有效需求不足導致的失業，而出現需求不足的主要原因是邊際消費逐漸減少，導致資本邊際效率和消費需求逐漸出現遞減現象，由此引發的投資需求出現不足。基于此，凱恩斯根據邊際消費的相關內容提出經濟學中的乘數原理，且乘數與邊際消費傾向為正比例關系，即乘數隨著邊際消費傾向的增加而增加，隨其減少而減少。因此，為減緩或是消除市場的失業蕭條現象，國家則應積極鼓勵社會成員消費，通過增加貨幣數量的形式降低利率，可以適當地增加生產者的利潤，致使資本邊際效率得到提高，從而增加投資物品的市場需求，并通過乘數在市場經濟中的作用，增加市場對消費品的需求量。而邊際分析屬于宏觀經濟，從而體現出微積分知識在宏觀經濟中的運用。

2.2經濟均衡理論中體現出的微積分方法

描述商品在市場中需求與供給保持一致均衡條件的方式可以稱作是經濟均衡理論，即在經濟生活消費者追求商品效用最大化，生產者追求利潤最大化，在這個過程中，追求均衡商品價格的有效條件。通常分析均衡條件，需要以多變量方程組為基礎，運用微積分知識展開對商品在市場供求條件下的邊際分析，從中尋找到均衡商品價格的條件，從而實現經濟的一般均衡目標。經濟均衡的分析思路，是由商品供給、對要素的供給以及人們對商品的需求、對要素的供給進行分析，最后到商品市場以及要素市場發展的一般均衡。在這個分析的過程中，需要使用微積分知識對此展開全面的分析，從而得到準確的條件，才能促使市場經濟達到均衡。

3微積分在經濟學中的運用

3.1經濟學中運用極限知識

微積分最基礎的知識便是極限，其中大量的理論知識、概念等都通過極限來表達。高等數學高于初等數學知識的關鍵便在于，高等數學可以通過極限解決初等數學知識無法解決的問題。反觀經濟學發展中，很多內容與極限相關，在此筆者便以連續復利計算中對極限的運用為例。設目前在銀行的存款為a，將來存款值為b，銀行的年利率則為c，則在n年后的本金與利息、將來存款值b的計算方式應為：b=a（1+c）n。若是在一年內按照p次計算復利，則各個時期的利率則應為c/p，而在一年以后本金與利息和的計算公式則為b=a（1+c/p）p。故而，n年之后本金與利息和為b=a（1+c/p）np。按照微積分中極限知識的角度分析，當p為正無窮大時，n年之后的本金與利息和計算公式為b=lima（1+c/p）np=aeπ，本公式證明在計算無窮的前提下，現在的存款值與將來存款值之間的關系。假設現在存款值a=1，利率c=100%，n=1，根據上面的計算公式可得出b=e。該事例向人們證實，在當前的經濟模型中，若是特定的參數值與特殊數值相近，尤其是與0或是無窮大接近時，從微積分中極限思想的角度間分析，能夠有效簡化分析和計算的過程，開拓經濟學分析的思路。此外，還可以運用極限知識計算經濟學中的無窮期貼現值等相關內容。

3.2經濟學中運用積分知識

商品機制和價格之間出現的差額概念是消費者剩余，也可以說是消費者按照自身使用商品愿意付出的價格與實際付出的商品價格之間的差額。在經濟學中，計算消費者的剩余，能夠了解市場經濟主體利益以及市場結構的真實發展情況，對于解決市場與商品、消費等有關的經濟學問題有著重要作用。市場經濟中有一種結構為需求者有限且對商品的需求為離散型，對于此種結構，消費者剩余的計算方式可以運用累加的形式；但是，若是為連續需求函數關系，消費者剩余則需要運用積分進行計算。同時，積分在經濟學中的運用，另一個方向則為微分的逆運用，主要是利用已知的邊際利潤、邊際成本以及邊際收益的函數，對其進行積分處理，從而得到商品的生產函數或是需求函數。可見，積分知識在經濟學以及經濟發展中具有重要作用。

3.3經濟學中運用導數知識

導數是高等數學知識的關鍵成分之一，在數學知識作為有效工具與各學科研究交叉的過程中，導數知識貫穿始終，同樣，經濟學中也積極利用導數知識。導數在經濟學的分析工作中，占據重要的位置，推動其變革，可以運用導數知識解決定量分析中無法解決的困難。導數在經濟學分析中運用具有典型色彩的為經濟變量彈性研究與邊際分析。邊際分析的主要內容為邊際利潤、邊際收益以及邊際成本三個方面。可以理解為邊際成本屬于總成本函數c（q）與產量q之間的導數，從經濟學的角度可以解釋為：若是產量為q，則再次增加一個單位的產量，即△q=1時，總成本的增加則應表示為△c（q）。例如：產生的生產單位為q，總成本的計算函數則應為c（q）=500+0.5q2；若是生產量確定為q0，那么此產品的邊際成本應MC按照MC=c/（q0）=q0。若是q值為100，則MC的值為100；若是q值為80，則MC的值為80。由此可知，若是知道利潤函數和收益函數，則利用導數知識分析生產廠商的邊際利潤和邊際收益。

此外，導數在經濟學中的運用還表現在彈性分析方面。函數自變量的相對變量與相對變量之間商的極限，可以理解函數在該點上存在彈性。經濟學中運用導數的彈性知識，主要用來衡量經濟模型中兩個變量之間的敏感程度，包含商品需求交叉彈性以及需求價格彈性等。

總結

微積分是高等數學知識的基礎，在經濟學中得到廣泛的運用，本文中對微積分在經濟學中運用的認識僅是冰山一角。但是，仍舊可以從微積分在經濟學中的基礎運用方式得知，微積分為經濟學面向定量化、數學化發展奠定基礎，對經濟學運用更高級的數學工具起到促進作用。因此，數學以及經濟學方面的學者應積極探索二者的有效融合。

參考文獻：

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編輯/岳鳳