從多元表征走向深度數學化

陳軍

【編者按】在日常教學進程中，學生的錯誤無法避免。我們一直說，學生的錯誤是一種重要的教育資源，善加利用便能使教學事半功倍。但大多時候，教師對于學生的錯誤分析僅是簡單的歸類整理，加強知識層面的訓練，缺少對于學生心理方面的分析。本期話題圍繞“小學數學學生錯誤心理分析及應對策略”展開。

在小學數學學習中，學生總是會出現各種各樣的錯誤。心理學家蓋耶說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”面對學生解題過程中出現的錯誤，教師們常會簡單地歸因：審題不細，計算粗心，思路不當……其實，每一個錯誤都是與學生心理發展相互關聯的。錯誤是學生思維路徑的原生態表達，錯誤的背后可能蘊藏著學生火熱的思考，也能讓我們把脈兒童的心理發展規律。在問題解決過程中，如果只關注結果的正確與否，不關注過程的來龍去脈，我們就無法透視兒童的心理發展，無法知曉學生的思維路徑，也無從給學生提供精準化的針對性幫助。因而，教師要用包容的心態、欣賞的眼光、教育的視角，正確認識錯誤的價值，分析背后的心理原因，從中探尋學生真實的思維路徑，順思啟智，順學而導，適才揚性，在多元化表征中促進數學化的發展。

一、案例回放

師：學了分數的再認識后，小明就一直在思考分數在生活中還會有哪些應用。早晨，媽媽給小明準備了1杯牛奶。小明玩起了分數游戲，他第1次喝了一杯牛奶的，然后加滿水；第2次喝了杯，再加滿水；第3次喝了半杯，又加滿水；最后，把一杯都喝了。小明喝的牛奶多，還是水多呢？同學們，請獨立思考，想辦法表示出你的思考過程，要讓別人很容易就看明白。

教師巡視，學生有畫圖，有列表，有列算式……

師：（3分鐘后）把你的想法在組內交流，無論是否得出了結果，都要勇敢地和別人說一說，或許你的思考過程能為別人打開一扇窗，點亮一盞燈呢！

教師參與到其中一個小組的交流中，傾聽著每個學生的發言。

生1：（如圖1）我先畫了一個杯子，平均分成6份，涂色5份，沒涂色的表示第1次喝1杯牛奶的；接著又畫一個杯子，平均分成3份，涂色2份，沒涂色的表示第2次喝1杯牛奶的；然后又畫一個杯子，平均分成2份，涂色1份，沒涂色的表示第3次喝1杯牛奶的一半；最后又畫一個杯子，表示把1杯都喝了。但是，接下來我就不會想了，不知道小明喝的牛奶多，還是水多。

生2：（如圖2）我畫的圖跟生1差不多，不過我把每次喝掉的部分涂色了，小明第1次，喝1杯牛奶的，就是第1只杯子上面部分，下面部分沒喝的就是；加滿水后，第2次，小明喝杯，就是喝了水的和牛奶的，這時已喝杯水，已喝+=杯奶；加滿水后，第3次，小明喝一半，這時已喝了杯水，已喝杯奶；第四次喝光，一共喝水+=杯，喝杯奶，>，小明喝的水多。

生3：（如圖3）我畫的是線段圖。小明第1次，喝1杯牛奶的，就是第1條線段左邊部分，右邊部分沒喝的就是；加滿水后，第2次，小明喝杯，這時的水喝了，的牛奶也就是3個，被喝掉；加滿水后，這時杯中共有水+=杯，共有牛奶杯，第3次，喝了半杯，一共喝水+=杯。第四次喝光，一共喝水++==杯，共喝掉牛奶杯，>，小明喝水多。

生4：我覺得你們做得

不對，我是這樣想的，（如

圖4）我用長方形表示牛奶

瓶，每次加水的部分，我涂成了陰影，3次一共加++=1杯水，就是上面的第4幅圖。小明第1次喝是牛奶；第2次喝杯，有牛奶，也有水；第3次喝一半，也是有牛奶和水；第4次喝光，也是有牛奶和水。雖然分了4次喝，其實他一共喝掉的是1杯牛奶，所以，我認為小明喝的牛奶和水一樣多，大家同意我的想法嗎？

二、錯誤分析

在上面的教學片段中，教師讓學生想辦法表示出自己的思考過程，并且要讓別人很容易就看明白，這一組學生都不約而同地選擇了畫圖策略。畫圖策略能讓思維顯性化，是這個讀圖時代最廣泛的方法。從兒童的心理發展看，小學階段兒童思維的基本特點是：從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。在很大程度上，其思維仍然是直接與感性經驗相聯系的，并依賴于具體的形象性。特級教師朱德江提出：“‘圖應成為學生表征思維過程的重要方式，用‘圖幫助思考應成為學生的習慣。”

案例中，如果只關注最后的結果，生1沒做出結果，生2、生3的結論是錯誤的。但是仔細分析學生的思考過程，都是有價值的，能讓我們透視學生的心理發展事態，了解到學生思維的起點。可以發現不同學生注意的范圍（即同一時間內所能感知的客體的數量）是不一樣的，而注意的范圍大小又和思維發展緊密相連。一些學生在復雜的事物面前，往往不能找到其間的關系，只能羅列一些互不相關的特征，生1就是這種情況的代表。有的學生注意的范圍發展得好一些，能注意到事物的一些細節，但又不能注意整體或全局。如生2、生3，就關注到前后每次的變化，卻注意不到前后三次整體的變化。

由于學生心理發展程度的不同，每個學生在數學化道路上也表現出程度不一的狀況。弗賴登塔爾認為，“我們把數學當成一種活動，它的一個主要特征就是數學化。”數學化可分為橫向數學化與縱向數學化，橫向數學化注重從生活到數學，從現實情境到數學體系，而縱向數學化是數學體系內部的變換與重組。案例中，學生運用圖形圖像表征題目信息，其實就是橫向的數學化，將生活情境抽象成圖形圖像，通過對圖形圖像的觀察、分析，進一步抽象出每次牛奶和水的關系。但是在縱向數學化方面，學生的發展程度是不同的。

生1能將題目的語言文字，用圖像表征，這是最低層次的橫向數學化，除此之外，沒有關注前后兩次的數量關系，沒有縱向數學化。生2能用圖像表征題目信息，關注到每次變化后杯中牛奶和水的數量關系，通過均分、疊加的方式得到每次結果，相比前者，在縱向數學化上往前走了一步。生3能從生活情境中跳出來，運用線段圖表征題目信息，相比生1在橫向數學化上程度更深，能抽象出線段模型，而且與生2類似，也能關注每次的數量關系，在縱向數學化上又往前走了一步。生4運用幾何直觀的圖形表征方式，既關注到前后每次杯中牛奶和水的數量關系，還能從中發現牛奶總量和水總量的數量恒等關系。他比前面三位在橫向數學化和縱向數學化方面發展得都更好。

學生心理發展層次的不同，思維的抽象程度就會千差萬別，在橫向數學化和縱向數學化的道路上，也就有了不同的方向和距離。這樣的分析有利于教師了解學生的思維層次和思維卡點，通過個性化診斷，為學生學習提供精準的幫扶指導。

三、應對策略

針對學生問題解決過程中出現的錯誤，分析了其背后的心理原因，了解了學生的思維路徑，就可以從中找到相應的策略，給學生提供精準化的幫扶指導。

策略一：從多元表征中抽象出數學模型。

問題表征是人們在解決問題時所使用的一種認知結構。在數學問題解決的過程中，人的問題表征系統很復雜。美國數學教育心理學家萊什從交流的角度將數學表征分為以下五種：真實情境、具體操作、圖形與圖表、語言符號和書面符號。這些表征系統既包括動作操作材料，也包括靜止圖式模型（即圖畫）的肖像方式；既包括出聲語言，也包括書面符號的符號方式。萊什將這些稱之為形象表征系統，將更抽象的概念稱之為抽象表征系統。形象表征系統和抽象表征系統構成了一個完整的表征系統，而形象表征與抽象表征之間，以及形象表征的各種形式之間是可以相互影響和轉換的（如圖5）。借助一個好的形象表征，學生可以形成一個有效的抽象表征，從而更好地了解問題解決的實質和關系，然后借助形象表征的各種方式實現對問題的解決。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果”。某種程度上，這也是對學生多元表征方式的關注。學生的表征越豐富，其對生活情境的抽象越深刻。現實生活情境中，學生通過動手操作進行動作表征，通過畫實物圖、直觀圖、線段圖等進行圖形圖像表征，通過運用文字、字母、數字進行符號化表征，通過口語進行語言表征。層層遞進，步步深入，抽象的程度由淺入深，在形象表征與抽象表征相互影響和轉換中，逐步學會像數學家一樣數學地思考，在再創造中將現實情境逐步抽象成數學模型。

策略二：整合融通，縱橫數學化均衡發展。

根據弗賴登塔爾的觀點，如果對橫向數學化和縱向數學化進行分類，數學教育可以分成四種類型：缺少橫向數學化，也缺乏縱向數學化，是機械主義教學；橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義教學；橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義教學；橫向數學化與縱向數學化都得到成長，是現實主義教學。（如圖6）

案例中，根據每個學生呈現的思維，就能準確定位他們在橫向數學化與縱向數學化坐標系中所處的位置，也就給教師的指導幫助明確了方向和作用力。教學中，整合融通，既關注橫向數學化的發展，也關注縱向數學化的發展，實施當下新課程追求的現實主義教學，讓橫向數學化與縱向數學化結伴而行、均衡發展。學生就能形成科學的思維框架，通過結構化思考培育系統化思維。從現實情境中抽象出數學模型，再回到生活中，對模型進行解釋應用，在生活情境與數學模型的雙向轉化中，實現最高層次的數學應用。

（作者單位：清華大學附屬小學昌平學校）