周長(zhǎng)和面積計(jì)算錯(cuò)誤心理剖析及對(duì)策

任潔妍

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生常混淆面積和周長(zhǎng)的計(jì)算，錯(cuò)誤率極高。本文嘗試以兩道不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算題為例，深入學(xué)生心理，探究提高學(xué)生計(jì)算周長(zhǎng)和面積正確率的對(duì)策。

一、挖掘錯(cuò)例，尋學(xué)生困惑之點(diǎn)

不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算沒(méi)有公式可以直接套用，且不規(guī)則圖形常常伴有陷阱，學(xué)生內(nèi)心困惑恐慌，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例1：用四個(gè)1平方厘米的正方形，拼成下面圖形（如圖1）。它們的面積和周長(zhǎng)各是多少？

常見(jiàn)錯(cuò)誤：把周長(zhǎng)當(dāng)成面積來(lái)算；計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)數(shù)錯(cuò)線段的數(shù)目。

例2：在一張邊長(zhǎng)是10厘米的正方形紙中，減去一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形。小明想到了三種方法（如圖2所示）。剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長(zhǎng)呢？

常見(jiàn)錯(cuò)誤：計(jì)算剩下面積時(shí)錯(cuò)誤列式為10×10=100（平方厘米）；10×10-4×2=92（平方厘米）；10×10-6×2=88（平方厘米）；計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)錯(cuò)誤列式為10×10=100（厘米）；10×4-（4+6）×2=20（厘米）；（10+10）×2=40（厘米）。

二、心理剖析，探學(xué)生薄弱之處

以上兩道經(jīng)典錯(cuò)例，正是學(xué)生思維存在障礙的體現(xiàn)。筆者深入學(xué)生心理，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，歸納了以下三方面原因。

1. 感知粗略，混淆不清。

學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積概念的感知較粗糙，概念意義沒(méi)有真正建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為只有規(guī)則圖形才能計(jì)算周長(zhǎng)和面積。

2. 注意失衡，顧此失彼。

周長(zhǎng)和面積知識(shí)本就是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其涉及不規(guī)則圖形，學(xué)生的注意力容易被分散。例1中求周長(zhǎng)時(shí)，由于第一個(gè)和第四個(gè)圖形屬于不規(guī)則圖形，圖形內(nèi)部的線段對(duì)找準(zhǔn)邊線（周長(zhǎng)）產(chǎn)生干擾。例2中，在同樣大小的正方形中減去一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形，不同的剪法，剩余部分的面積大小相等，而剩余圖形的周長(zhǎng)卻會(huì)改變。學(xué)生不僅要分清周長(zhǎng)和面積，又要提防不規(guī)則圖形的陷阱，顧此失彼，出現(xiàn)錯(cuò)誤。

3. 思維定勢(shì)，缺乏逆向思維。

思維的定勢(shì)是思維的慣性，學(xué)生習(xí)慣套用公式計(jì)算周長(zhǎng)和面積，因此在不規(guī)則圖形中也是想方設(shè)法地生搬硬套公式。例1中，部分學(xué)生求面積時(shí)套公式計(jì)算而出錯(cuò)，大部分學(xué)生通過(guò)數(shù)方格得出面積都是4平方厘米；而不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)用“移線段”的方法將圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形再計(jì)算，也可以直接通過(guò)數(shù)邊線得到。例2中，利用逆向思維，不直接求面積，而是抓住剩下圖形的面積等于大正方形面積減去小長(zhǎng)方形面積；求周長(zhǎng)時(shí)并非要知曉每一條線段的長(zhǎng)度，可以通過(guò)線段平移，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形再計(jì)算。思維定勢(shì)讓學(xué)生的思維受到局限，在解題時(shí)無(wú)法找到事半功倍的方法。

三、尋求對(duì)策，破學(xué)生思維之限

在剖析學(xué)生的錯(cuò)誤心理成因后，筆者從注重感知、穩(wěn)定注意和拓展思維三方面入手，突破教學(xué)中學(xué)生的心理障礙和思維局限，幫助學(xué)生獲得正確的認(rèn)知。

1. 注重感知，辨析概念差異。

感知材料是學(xué)生接觸新知識(shí)的載體，也是數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的媒介。如果首次感知不準(zhǔn)確、不細(xì)致，容易影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)潛能的激發(fā)。在幫助學(xué)生建構(gòu)周長(zhǎng)和面積的概念意義時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)提供生動(dòng)的感知材料，設(shè)計(jì)有趣的感知活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的思維。如以下活動(dòng)。

活動(dòng)一：提供若干顆糖果、一個(gè)長(zhǎng)方形鋼絲框架、一塊與框架形狀大小一樣的紙板，引導(dǎo)學(xué)生分別向框架和紙板上撒糖果，再將框架拉直，最后撫摸紙板的每一處。

活動(dòng)二：提供長(zhǎng)方形、正方形、愛(ài)心形紙板，引導(dǎo)學(xué)生用紅筆描繪每個(gè)圖形的周長(zhǎng)，用藍(lán)筆涂滿每個(gè)圖形。

在活動(dòng)一中，學(xué)生觀察到向框架撒的糖果都掉到地上，向紙板撒的糖果都能被接住；鋼絲框架變成一條有長(zhǎng)度的線段；紙板是一個(gè)有大小的平面。初步感知框架的長(zhǎng)度即長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，紙板的大小即長(zhǎng)方形的面積。在活動(dòng)二中，通過(guò)描一描、涂一涂的操作，學(xué)生獲得對(duì)周長(zhǎng)和面積的感性認(rèn)識(shí)，建立豐富的表象。

以感知材料作為思維支架，學(xué)生會(huì)積極投入到生動(dòng)的感知活動(dòng)中，在首次感知中就細(xì)致地辨析周長(zhǎng)和面積的概念，強(qiáng)化差異，防止在后續(xù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)混淆不清的情況。

2. 穩(wěn)定注意，合理分配難點(diǎn)。

注意，通常是指選擇性注意，即有選擇地加工某些刺激而忽視其他刺激的傾向。在計(jì)算周長(zhǎng)和面積時(shí)，學(xué)生的注意力被分散在不同的對(duì)象上。教師應(yīng)幫助學(xué)生先將注意力穩(wěn)定集中在某一難點(diǎn)，對(duì)比辨析、完全掌握后再綜合難點(diǎn)，進(jìn)行注意力的合理分配和轉(zhuǎn)移。如圖形的拼組和拆分這類題型，可以設(shè)計(jì)一組難點(diǎn)從分散到綜合的題目，如下所示。

①有兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2厘米，把它們拼成大長(zhǎng)方形，求大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積。

②長(zhǎng)方形長(zhǎng)4厘米，寬2厘米，把它剪成兩個(gè)相同的小正方形，求小正方形的周長(zhǎng)和面積。

③有兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2厘米，把它們重疊在一起形成新的組合圖形，重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形。求組合圖形的周長(zhǎng)和面積。

圖形拼組和拆分是對(duì)周長(zhǎng)和面積概念的理解和應(yīng)用，題①和題②分別是拼組和拆分規(guī)則圖形，先穩(wěn)定學(xué)生注意力，分散難點(diǎn)；題③拼組不規(guī)則圖形，綜合難點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜平面圖形以及立體圖形的拼組和拆分打下基礎(chǔ)。

3. 拓展思維，防止定勢(shì)干擾。

在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)和面積公式后，學(xué)生思維受限，費(fèi)時(shí)費(fèi)力地想用公式求解。在周長(zhǎng)和面積計(jì)算的教學(xué)中，著重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)周長(zhǎng)和面積是一般概念，并非只有規(guī)則圖形才具備，防止思維定勢(shì)。

在教學(xué)周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，選擇不規(guī)則圖形，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中經(jīng)歷描邊線、算長(zhǎng)度的過(guò)程，幫助學(xué)生理解不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)本質(zhì)上與規(guī)則圖形是相同的，即一周邊線的長(zhǎng)度。在教學(xué)面積計(jì)算時(shí)，利用“鋪面積單位”這個(gè)活動(dòng)，幫助學(xué)生理解面積的本質(zhì)是一個(gè)“數(shù)”。由若干個(gè)面積單位拼成的不規(guī)則圖形，其面積沒(méi)有直接公式可以用來(lái)計(jì)算，但可以通過(guò)“數(shù)”和“算”面積單位的個(gè)數(shù)而得知。從而防止圖形形狀給學(xué)生帶來(lái)干擾，使學(xué)生感受到圖形的面積大小與形狀無(wú)關(guān)。

在突破周長(zhǎng)和面積的一般化計(jì)算后，再設(shè)計(jì)一組周長(zhǎng)和面積的對(duì)比練習(xí)，如下所示。

如果一個(gè)長(zhǎng)方形減去一部分（長(zhǎng)方形或正方形），剩余部分的周長(zhǎng)和面積與原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積相比，變大還是變小？

①面積減少，周長(zhǎng)不變。②面積減少，周長(zhǎng)變大。③面積減少，周長(zhǎng)變小。

從規(guī)則圖形到不規(guī)則圖形需要學(xué)生靈活思考，不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)可以通過(guò)小線段的動(dòng)態(tài)平移得到，面積可以通過(guò)割補(bǔ)法得到，打破思維慣性，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

學(xué)生的錯(cuò)誤是具有典型性的，有規(guī)律可循。面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)，找到學(xué)生思維過(guò)程中產(chǎn)生的障礙，及時(shí)進(jìn)行剖析，找尋提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和解題正確率的對(duì)策。

（作者單位：浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)富春第二小學(xué)

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