周長和面積計算錯誤心理剖析及對策

任潔妍

在學習過程中，學生常混淆面積和周長的計算，錯誤率極高。本文嘗試以兩道不規則圖形的周長和面積計算題為例，深入學生心理，探究提高學生計算周長和面積正確率的對策。

一、挖掘錯例，尋學生困惑之點

不規則圖形的周長和面積計算沒有公式可以直接套用，且不規則圖形常常伴有陷阱，學生內心困惑恐慌，容易出現錯誤。

例1：用四個1平方厘米的正方形，拼成下面圖形（如圖1）。它們的面積和周長各是多少？

常見錯誤：把周長當成面積來算；計算周長時數錯線段的數目。

例2：在一張邊長是10厘米的正方形紙中，減去一個長6厘米、寬4厘米的長方形。小明想到了三種方法（如圖2所示）。剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長呢？

常見錯誤：計算剩下面積時錯誤列式為10×10=100（平方厘米）；10×10-4×2=92（平方厘米）；10×10-6×2=88（平方厘米）；計算周長時錯誤列式為10×10=100（厘米）；10×4-（4+6）×2=20（厘米）；（10+10）×2=40（厘米）。

二、心理剖析，探學生薄弱之處

以上兩道經典錯例，正是學生思維存在障礙的體現。筆者深入學生心理，對學生的錯誤進行剖析，歸納了以下三方面原因。

1. 感知粗略，混淆不清。

學生對周長和面積概念的感知較粗糙，概念意義沒有真正建構，導致學生認為只有規則圖形才能計算周長和面積。

2. 注意失衡，顧此失彼。

周長和面積知識本就是學習的難點，尤其涉及不規則圖形，學生的注意力容易被分散。例1中求周長時，由于第一個和第四個圖形屬于不規則圖形，圖形內部的線段對找準邊線（周長）產生干擾。例2中，在同樣大小的正方形中減去一個同樣大小的長方形，不同的剪法，剩余部分的面積大小相等，而剩余圖形的周長卻會改變。學生不僅要分清周長和面積，又要提防不規則圖形的陷阱，顧此失彼，出現錯誤。

3. 思維定勢，缺乏逆向思維。

思維的定勢是思維的慣性，學生習慣套用公式計算周長和面積，因此在不規則圖形中也是想方設法地生搬硬套公式。例1中，部分學生求面積時套公式計算而出錯，大部分學生通過數方格得出面積都是4平方厘米；而不規則圖形的周長用“移線段”的方法將圖形轉化為規則圖形再計算，也可以直接通過數邊線得到。例2中，利用逆向思維，不直接求面積，而是抓住剩下圖形的面積等于大正方形面積減去小長方形面積；求周長時并非要知曉每一條線段的長度，可以通過線段平移，將不規則圖形轉化為規則圖形再計算。思維定勢讓學生的思維受到局限，在解題時無法找到事半功倍的方法。

三、尋求對策，破學生思維之限

在剖析學生的錯誤心理成因后，筆者從注重感知、穩定注意和拓展思維三方面入手，突破教學中學生的心理障礙和思維局限，幫助學生獲得正確的認知。

1. 注重感知，辨析概念差異。

感知材料是學生接觸新知識的載體，也是數學與生活聯系的媒介。如果首次感知不準確、不細致，容易影響學生的學習興趣和學習潛能的激發。在幫助學生建構周長和面積的概念意義時，教師應當提供生動的感知材料，設計有趣的感知活動，激發學生的思維。如以下活動。

活動一：提供若干顆糖果、一個長方形鋼絲框架、一塊與框架形狀大小一樣的紙板，引導學生分別向框架和紙板上撒糖果，再將框架拉直，最后撫摸紙板的每一處。

活動二：提供長方形、正方形、愛心形紙板，引導學生用紅筆描繪每個圖形的周長，用藍筆涂滿每個圖形。

在活動一中，學生觀察到向框架撒的糖果都掉到地上，向紙板撒的糖果都能被接住；鋼絲框架變成一條有長度的線段；紙板是一個有大小的平面。初步感知框架的長度即長方形的周長，紙板的大小即長方形的面積。在活動二中，通過描一描、涂一涂的操作，學生獲得對周長和面積的感性認識，建立豐富的表象。

以感知材料作為思維支架，學生會積極投入到生動的感知活動中，在首次感知中就細致地辨析周長和面積的概念，強化差異，防止在后續學習中出現混淆不清的情況。

2. 穩定注意，合理分配難點。

注意，通常是指選擇性注意，即有選擇地加工某些刺激而忽視其他刺激的傾向。在計算周長和面積時，學生的注意力被分散在不同的對象上。教師應幫助學生先將注意力穩定集中在某一難點，對比辨析、完全掌握后再綜合難點，進行注意力的合理分配和轉移。如圖形的拼組和拆分這類題型，可以設計一組難點從分散到綜合的題目，如下所示。

①有兩個正方形邊長為2厘米，把它們拼成大長方形，求大長方形的周長和面積。

②長方形長4厘米，寬2厘米，把它剪成兩個相同的小正方形，求小正方形的周長和面積。

③有兩個正方形邊長為2厘米，把它們重疊在一起形成新的組合圖形，重疊部分是一個邊長為1厘米的正方形。求組合圖形的周長和面積。

圖形拼組和拆分是對周長和面積概念的理解和應用，題①和題②分別是拼組和拆分規則圖形，先穩定學生注意力，分散難點；題③拼組不規則圖形，綜合難點，為后續學習復雜平面圖形以及立體圖形的拼組和拆分打下基礎。

3. 拓展思維，防止定勢干擾。

在學習長方形和正方形的周長和面積公式后，學生思維受限，費時費力地想用公式求解。在周長和面積計算的教學中，著重引導學生體會周長和面積是一般概念，并非只有規則圖形才具備，防止思維定勢。

在教學周長計算時，選擇不規則圖形，讓學生在動手操作中經歷描邊線、算長度的過程，幫助學生理解不規則圖形的周長本質上與規則圖形是相同的，即一周邊線的長度。在教學面積計算時，利用“鋪面積單位”這個活動，幫助學生理解面積的本質是一個“數”。由若干個面積單位拼成的不規則圖形，其面積沒有直接公式可以用來計算，但可以通過“數”和“算”面積單位的個數而得知。從而防止圖形形狀給學生帶來干擾，使學生感受到圖形的面積大小與形狀無關。

在突破周長和面積的一般化計算后，再設計一組周長和面積的對比練習，如下所示。

如果一個長方形減去一部分（長方形或正方形），剩余部分的周長和面積與原長方形的周長和面積相比，變大還是變小？

①面積減少，周長不變。②面積減少，周長變大。③面積減少，周長變小。

從規則圖形到不規則圖形需要學生靈活思考，不規則圖形的周長可以通過小線段的動態平移得到，面積可以通過割補法得到，打破思維慣性，將不規則圖形轉化為規則圖形。

學生的錯誤是具有典型性的，有規律可循。面對學生的錯誤，教師應當根據學生的心理特點，找到學生思維過程中產生的障礙，及時進行剖析，找尋提高學生學習效率和解題正確率的對策。

（作者單位：浙江省杭州市富陽區富春第二小學

本專輯責任編輯：黃彧修？搖？搖？搖？搖王彬？搖？搖？搖？搖陳本煌）