雙向思維交融 促進數學思考

唐寶端

學生的數學思維，根據思維形態，可分為形象與抽象兩類；根據思維模式，可分為集中與發散兩種。學生集中思維有助于其深入思考，但其缺點在于該思維模式具有直線性、單項性，及缺乏變化的特性。發散思維有助于拓展思路，了解事物的普遍聯系，但它也只是一種手段，最終是為了更深入的集中思維。因而學生的數學思維并不局限于哪種模式，而是要綜合運用、互相促進、整體提升。

一、系統認知，“發散思維”助力“集中思維”

數學教材中各個單元的教學內容必然構成一個完整的結構體系。從教學目標的四個維度分析，它們是相互關聯而不可分割的整體。因此，教學過程中必然需要承前啟后，聯系前后教學內容。教師形成系統的教學觀，才能引導學生系統化地認知，引領學生經歷發散思維到集中思維的過渡。

例如，人教版五下“長方體和正方體的體積”部分內容，其編排順序為：體積概念、體積單位、長方體的體積、正方體的體積、體積單位間的進率、容積和容積單位。教材編者為什么不在學生學習“體積單位”之后安排“單位進率”的學習內容呢？不思考這一問題，很容易將上述幾部分知識個體化。以下列舉兩位教師的教學片段。

【教學片段1】

師：我們學習了棱長為1 cm的正方體體積就是

1 cm3，棱長為1 dm的正方體體積就是1 dm3。現在我們嘗試將1 cm3的小正方體裝入這個1 dm3的正方體中，一行可以擺幾個呢？

生：10個。

師：很好。（課件播放擺一行）

師：橫著擺放可以擺幾行？一共擺了幾個？

生：可以擺10行，一共100個。

師：是的，這樣的一層，就有100個1 cm3的小正方體。（課件播放擺一層）

師：往上擺，可以擺幾層？一共擺了幾個？

生：可以擺10層，一共1000個。

師：（課件播放擺10層）說明1 dm3等于多少cm3？

生：等于1000 cm3。

教師板書1 dm3=1000 cm3。

【教學片段2】

師：1 dm3等于多少cm3？你是怎么知道的？

生：我想1 dm=10 cm，1 dm2=100 cm2，所以判斷

1 dm3應該等于1000 cm3。

師：真好，你們很善于學習，也很善于推理。我們可以用什么方法來驗證這個結論呢？

生1：用小正方體擺一擺。

生2：用已學過的正方體體積計算方法證明。

師：看來大家都有各自的方法，在你們小組桌面上有正方體模型，可以選擇使用或者不用，在你的小組中大膽闡述你的觀點吧。

從“教學片段1”中，我們能感受到，教師關注的是單一的知識，單刀直入，聚焦要點，看似簡單明快，培養了學生的集中思維，然而這種思維是單薄的，也缺乏對學生空間觀念的培養。教學雖然能達到認知的目的，卻限制了學生的空間想象力，窄化了教學目標?！皵祵W片段2”中的教師能從學生實際出發，既關注學生的已有認知，把握最近發展區，又清晰定位學生的認知瓶頸。教師很清楚學生前面學過“體積單位”及“正方體的體積”，通過有效的問題引導學生將知識串聯起來，形成知識體系。通過合理的交流促進學生將數學思維融會貫通。通過學生個性化地解決問題，促進不同層次的學生數學思維的有效提升。通過激發發散思維，加強了學生集中思維的深度。這也正是教材編者不在認識“體積單位”后直接編排“單位進率”教學的用意所在。

二、自主建構，“集中思維”激發“發散思維”

集中思維與發散思維是一個有機整體，相互影響、相互作用。學生的數學思維發展需要兩種思維協同發展。在一些獨立問題的探究過程中，教師應著力引導學生展開集中思維對知識進行深入地思考，在思考中感悟，在思考中運用，在思考中拓展，在思考中提升。

例如，“找次品”一課中涉及的數學知識較少，卻是蘊藏著諸多的數學思想。這樣的課，教師無需考慮太多前后知識的關聯，應側重于引導學生將積累的數學思想方法運用在解決問題過程中。

【教學片段3】

在情境引入之后，學生明白了什么是“次品”，知道了怎么用天平找出次品。

師：用天平秤在3瓶鈣片中找出1瓶次品，需要稱幾次？先預測，再動手試一試。如果跟你預測的不同，想一想為什么？

就這一問題，學生進行了深入地探究。大部分學生首先預測需要2次才能找出次品。但是，在他們動手畫一畫、稱一稱的過程中，很快發現“只要稱1次”這個事實。在現實面前，學生立即將實際情況與原有的認知進行對比，自我矯正，發現原來“不在天平上的鈣片也能參與判斷”這一道理，并在集體交流中逐漸形成一種解決問題的策略。

師：看來你們已經學會找次品了。但是，是不是每次總數一變，你就要如此嘗試呢？能否從8瓶中用不同方法找次品，想想其中有什么奧秘。

在原有的認知基礎上，教師再次以一個大問題激發學生的思維，將原有的集中思維繼續延伸。學生通過對比“分成2份”與“分成3份”的策略，發現后者是較好的策略。于是教師繼續啟發學生深入思考：“為什么分成3份會優于分成2份？”學生受“3瓶中找次品”的啟發，很快發現了天平下面這1份與天平上面2份之間的關系，并通過集體交流發現“稱一次同時排除的物品越多越好”這個道理。

在本課的教學過程中，教師抓住“解決問題策略探究”這一主線，引導學生進行逐步深入的集中思維。學生在經歷“怎么找次品”到“為什么這么找”的過程中思維不斷深入，自主經歷“知其然”到“知其所以然”的蛻變。整個過程是方法的自主探究，是知識的自主建構，是思維的自我延展。之所以能達到比較好的思維訓練效果，最重要的原因是學生的自主性。教師有意適當拓寬思維空間，引導學生圍繞有效問題進行集中思維，也正是這種集中思維才能達到深層次境界。然而，教師并沒有止步于此，而是繼續深入展開教學。一是，當學生完成了探究環節后，教師通過問題“剛才的探究給你最大的啟發是什么”，激發學生提煉方法，總結出“化繁為簡”的方法和“優化”思想，為今后進一步學習拓寬了思路。二是，在學生為順利解決問題而自信滿滿時，教師又適時提出了問題“如果有2個次品如何是好”，讓學生的發散思維就此展開。而此時的發散思維是有基礎的，更有利于其思路的拓展。

從上述兩節課我們可以看出，當集中思維無法實現“觸類旁通”時，發散思維就應該派上用場，拓展思路，相互關聯，使學生的數學思考面更廣。當發散思維難以“觸及深層”時，集中思維就必須占據主導，步步為營，使學生的數學思考更有深度。因此，數學課堂上教師應關注學生的思維方式，針對不同的教學內容，結合學生的思維特點，選擇不同的教學策略，有效地將集中思維與發散思維融合，使其相互促進，培養學生全面而深入的數學思維。

（作者單位：福建省廈門市海滄區教師進修學校附屬學校 責任編輯：王彬 陳本煌）