利用柯西不等式的變形解題

☉河南省駐馬店高級中學 耿杉杉

文1把課本上的一類條件不等式的證明利用函數思想，先從不等式中抽象出一個函數，然后，利用該函數圖像總是在對應點處的切線的上方或下方構造出新的不等式，最后對這些新不等式進行累加，從而使原不等式得證.這樣證明不等式確實很巧妙.文2利用重要不等式的變形再次對這些不等式進行了證明，讀后也讓人耳目一新.通過這兩篇文章的學習研究，本人深受啟發，本文運用柯西不等式，特別是柯西不等式的變形形式，對文1和文2中給出的一些課本上的習題、高考題、競賽題進行證明，以供大家探討.

柯西不等式：若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是實數，則（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時，等號成立，當且僅當存在一個實數k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.

柯西不等式的變形形式：若a1，a2，…，an為實數，b1，b2，…，bn為正數，則a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時，等號成立，當且僅當存在一個實數k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.

例1 （選修4-5第41頁第1題）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證≥9.你能否把這一結論推廣，并寫出證明.

證明：因為a，b，c∈R+，且a+b+c=1，由柯西不等式的變形公式，得

推廣：x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，則

證明：因為x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，

由柯西不等式的變形公式，得

例2 （選修4-5第41頁第4題）已知a，b，c是互不相等的正數，求證

證明：因為a，b，c是正數，由柯西不等式的變形公式，得

又因為a，b，c是互不相等的正數，

例3 （選修4-5第41頁第6題）設x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求證

證明：因為x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，

又a＞0，b＞0，由柯西不等式的變形公式，得

=1，即a=2，b=4時，等號成立.

所以2a+b的最小值為8.

例5 （2008年陜西卷第22題（3））已知數列{an}的首項，n=1，2，….證明

所以原不等式成立.

例6（2012年全國數學聯賽甘肅預賽第11題）設a，b，c為正實數，且a+b+c=1，求證

證明：因為a，b，c為正實數，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

又a+b+c=1，由柯西不等式的變形公式，得

拓展：設ai，bi（i=1，2，…，n）同號且不為0，則，當a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時，等號成立，當且僅當存在一個實數k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.