導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間取點(diǎn)探析*

☉甘肅省白銀市第九中學(xué) 張永兵

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的問題，不管正向還是逆向，思路都是一致的，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后找到極值，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，找到符合題目條件的情況進(jìn)行分析.下面通過例題來舉例說明.

（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）由于x2+x+1＞0，所以f（x）=0等價(jià)于

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

探析：計(jì)算f（3a+1），f（3a-1），這一步非常巧妙，你是怎么想到的？

例2（2017年全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（1）易知，若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；若a＞0，f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.（過程略）

（2）（i）若a≤0，由（1）知，f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).

（ii）若a＞0，由（1）知，當(dāng)x=-lna時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為（f-lna）=1-+lna.

①當(dāng)a=1時(shí)，由于（f-lna）=0，故（fx）只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，a的取值范圍為（0，1）.

例3（2016年全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（1）易知，當(dāng)a≥0，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）①設(shè)a＞0，則由（1）知，（fx）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又（f1）=-e，（f2）=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則（fb）＞，所以f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)a=0，則（fx）=（x-2）ex，（fx）只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

例4（2015年全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)（fx）=e2x-alnx.

（1）討論（fx）的導(dǎo)函數(shù)f（′x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

解：（1）（fx）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（′x）=2e2x-（x＞0）.當(dāng)a≤0時(shí)，f（′x）＞0，f（′x）沒有零點(diǎn)；

當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閥1=e2x單調(diào)遞增單調(diào)遞增，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f′（a）=2e2a-1＞0，當(dāng)b滿足時(shí)，f′（b）＜0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）存在唯一零點(diǎn).

因?yàn)閒′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.f′（a）＞0，所以選取的b應(yīng)小于a，并且越遠(yuǎn)離a，滿足f′（b）＜0的可能性越大，取以當(dāng)a＞0時(shí)至少有一個(gè)成立.其實(shí)b也可以取得0＜a＜4ln4.當(dāng)a≥4ln4，可以利用a范圍采用參數(shù)放縮法不含參數(shù)并且遞增