關于直角坐標系坐標軸變換的幾點思考

☉天津市寶坻區第一中學 胡文一

笛卡兒在《幾何學》中以其敏銳的眼光和令人敬佩的智慧提出了用方程表示曲線，用曲線描述方程的思想，為幾何問題的研究提供了一條機械化的道路，推動了數學的發展.

但是，我國現行的教材和教輔上，卻又過分強調代數運算的應試化思路，通過直截了當的思維過程，進行大量的重復計算來研究數學問題，卻淡化了對坐標系進一步的思考，不利于培養從已知中發現未知的能力.本文將敘述直角坐標系中坐標軸的改變對曲線的影響，并據此發現曲線的更多變化規律.

一、伸縮變換

伸縮變換在中學數學教學中已有提及，在此不作過多闡述，只介紹伸縮變換在化歸數學模型上的作用.

現行的標準解法如下：

圖1

整理得mn=1.

但如果能利用伸縮變形將橢圓變形為圓，就有了全新的幾何關系：∠AQB為弧AB所對圓心角，且為定值.在直角坐標系中，k值即代表直線傾斜角的正切值，故可定量得到這個幾何關系，①它為定值.

為計算這個定值只需令BQ過圓心即得到

將②③④代入①，得mn=1.

由于我們只對x軸作了變換，y軸上的m，n無變化，故mn確定為1.

二、單軸旋轉

坐標軸可以繞原點旋轉來導致坐標有變動.我們先考慮一條坐標軸的旋轉，此時被旋轉后的坐標讀取的方法是作另一軸的平行線，讀取和該軸交點的坐標.

圖2

圖3

圖5

圖4

三、坐標軸更換

不是只有x軸、y軸才可以稱為坐標軸，任意一條過原點的直線都可以被換成坐標軸.

我們來審視坐標軸，x軸有一個特性，凡是垂直于x軸的直線，其方程都滿足x=a的形式.我們可以用這個特性來重新定義坐標軸，如果和一條過原點的直線相交而平行于另一坐標軸的直線都有f（x.y）=a的形式，就稱這條直線為f（x，y）軸.

例2 直線x-y=0可以稱為x+y軸，因為垂直于x-y=0的直線均是x+y=C的形式.利用這個方法可證明的圖像為高中課本上定義的雙曲線.

取一條最簡單的雙曲線x2-y2=1，其漸近線為y=±x，將x2-y2=2化為（x+y）（x-y）=2，利用之前提到的更換坐標軸的方法，立即得到這是關于x-y、x+y兩條坐標軸的一個反比例函數圖像.雖然我們的方程中兩變量乘積為2，但方程中變量的值不等于在坐標軸方向位置向量的模.通過運算，得到bx+ay軸和bx-ay軸組成的坐標系下橫縱坐標對舊坐標系下長度的“匯率”為.我們可以用此方法解決一些特殊問題.比如，M為雙曲線上一點，過M作雙曲線兩漸近線平行線交兩漸近線于A，B兩點，如圖6.證明：平行四邊形MAOB面積為定值.

常用方法證明如下：

證明：雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0.

設M（m，n）是雙曲線上任一點，過M平行于OB：bx+ay=0的直線的方程是bx+ay-bm-an=0.

圖6

可得平行四邊形MAOB的面積為

由M在雙曲線上，可得b2m2-a2n2=a2b2，

而在我們新換的坐標系中，按照之前談到的方法整理原式為（bx+ay）（bx-ay）=（ab）2，分別記bx+ay和bx-ay為m和n，得到了一個新坐標系下的雙曲線方程，新的橫縱坐標相乘是定值a2b2.使用轉化為原坐標系下兩邊長，再乘以兩線夾角的正弦值可計算出原坐標系下面積為定值

四、微積分計算

我們需要用換元法或者隱函數微分的方法來處理本文前面談到的新坐標系下的微積分問題.盡管這種方法一下子難以理解和接受，但一旦用于處理某些比較特殊的問題卻很有優勢.比如求一個雙曲線和兩條漸近線和一條與漸近線平行的直線圍成的曲邊梯形的面積（圖7），就可以在新坐標系中轉化為求函數反常積分的問題，免去了將雙曲線方程轉化為函數形式再積分一個根式的麻煩.

圖7

有了以上四點討論，我們就可以在直角坐標系中選取任意的坐標系，通過一些數學關系式上的計算，將各種數學圖形聯系起來，使坐標系從舞臺幕布后面華麗亮相.

結語：無可否認，機械化的證明是數學發展的推進器，但是如果數學的思想跟不上數學理論的進程，就難有顛覆性的發現和歷史性的變革.其實數學充滿了構造、變形和轉化，等待后世的人們去追尋其蹤，而本文只是這些蹤跡中的滄海一粟.

參考資料：

1.〔美〕C·亞當斯J·哈斯A·湯普森，著.微積分之屠龍寶刀［M］.長沙：湖南科學技術出版社，2004（5）.

2.〔美〕C·亞當斯J·哈斯A·湯普森，著.微積分之倚天寶劍［M］.長沙：湖南科學技術出版社，2005（5）.

3.同濟大學數學系編.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2007（4）.W