分析題干思變換，構造數列求通項

☉江蘇省石莊高級中學 周亞軍

通項公式是數列的本質，而遞推數列的通項公式則是數列的靈魂.求由遞推關系所確定的數列的通項，通常可通過遞推關系的一系列恒等變換，構造出一個輔助數列，化歸為等差數列或等比數列，然后求出這個輔助數列的通項，進而求得所要求數列的通項.對于不同的遞推公式，可以采取不同的方法構造不同的輔助數列.下面就談談常見的構造新數列的方法，希望對讀者有所幫助.

一、分析題目特征，探求系數輔助求通項

用待定系數法求通項的關鍵是從策略上規范一個遞推式可變成為何種等比數列.其變換的基本形式如下：

（1）an+2=Aan+1+Ban（A，B為常數，下同）型，可化為an+2+λan+1=（A+λ）·（an+1+λan）的形式；

（2）an+1=Aan+B（A，B為常數）型，可化為an+1+λ=A（an+λ）的形式；

（3）an+1=Aan+B·Cn（A，B，C為常數）型，可化為an+1+λCn+1=A（an+λCn）的形式；

（4）an+1=Aan+Bn+C（A，B，C為常數）型，可化為an+1+λ1n+λ2=A［an+λ1（n-1）+λ2］的形式.

例1 已知數列{an}中求an的表達式.

分析：根據題目特征考慮用待定系數法來求解，可設an+2-αan+1=β（an+1-αan），就是an+2=（α+β）an+1-αβan，則可從解得α，β，從而構造出一個公比為β的等比數列{an+1-αan}.當有兩組α，β值時，只需要取一組求解即可.

解：設an+2-αan+1=β（an+1-αan），則α+β=得

.分兩種情況求an.

例2 已知數列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數列{an}的通項公式.

解析：設an+1+x·5n+1=2（an+x·5n）， ①

將an+1=2an+3·5n代入①式，得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n，等式兩邊消去2an，得3·5n+x·5n+1=2x·5n，兩邊除以5n，得3+x·5=2x，則x=-1，代入①式，得an+1-5n+1=2（an-5n）.②

由a1-51=6-5=1≠0及②式，得an-5n≠0，則2，則數列{an-5n}是以a1-51=1為首項，以2為公比的等比數列，則an-5n=1·2n-1，故an=2n-1+5n.

評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an+1=2an+3·5n轉化為an+1-5n+1=2（an-5n），從而可知數列{an-5n}是等比數列，進而求出數列{an-5n}的通項公式，最后再求出數列{an}的通項公式.

二、構造倒數式輔助求通項

例3 已知數列{an}中，（n≥2），求數列{an}的通項公式an.

分析：通過觀察發現遞推公式是分式型的，可以考慮在兩邊取倒數進行求解比較方便.

三、構造對數式輔助求通項

對形如an+1=panm（p為非零常數，m∈N*且m＞1）的遞推數列，可利用對數的運算法則，將積、商、冪的形式轉化成和、差、倍的形式，從而構造出新的等差或等比數列，再利用等差或等比數列的定義去求解.

例3 設正項數列{an}中，a1=1，當n≥2時，有an=2an-12，求數列{an}的通項公式an.

分析：觀察題目結構特點，可考慮利用兩邊取對數，將高階遞推公式變為一階遞推式，然后再進行求解.

解：兩邊取對數得log2an=1+2log2an-1，

即log2an+1=2（log2an-1+1）.

設bn=log2an+1，則bn=2bn-1，

所以{bn}是以2為公比的等比數列，b1=log21+1=1.

所以bn=1×2n-1=2n-1，所以log2an+1=2n-1，即log2an=2n-1-1，所以an=22n-1-1.

求通項公式是數列學習中的一個難點，滲透了多種數學思想方法，很好地體現了新課程標準理念.在求解的過程中，往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強，因此是培養同學們思維深刻性的極好范例，有必要好好去領悟.W