立足基本圖形 解法自然生成

☉江蘇省華羅庚中學 王國俊

圖形的應用在各級各類考試，特別是高考中出現的頻率越來越高，內容可以涉及方方面面的問題：集合中的圖形、函數的圖像、幾何圖形（平面幾何、平面解析幾何、立體幾何）、三角函數的圖像、算法的程序框圖、統計圖、概率中的圖形以及線性規劃的平面區域等.其主要目的是引導學生深入生活，在了解社會實際問題的同時不斷擴大自身的知識面，才能在實際解決問題時立于不敗之地.關鍵是正確理解相關圖形的變化規律，通過圖形特征加以綜合分析.

一、由函數判斷圖形

此類問題往往直接結合函數的基本性質來判斷、利用函數的變化規律加以排除、結合函數的特征加以特殊應用、利用實際問題加以一般性轉化等，抓住函數的特點，利用性質法、排除法、特殊值法等加以解決.

例1 （原創題）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦長為t，則t關于k的函數關系式為t=f（k），則該函數t=f（k）的圖像大致為（）.

分析：直接利用直線與圓的位置關系來確定相應的函數解析式難度比較大，通過特殊情況下對應的弦長的最值情況加以排除，切入點巧妙，簡單快捷.

點評：函數與圖像問題，是高中數學的主體內容.函數可以把圖像精確化、細微化；反之，圖像能使函數直觀化、形象化.高中對函數圖像的要求有三個方面：作圖、識圖、用圖.作圖是基本能力，識圖是綜合素質，用圖是最終目標.

二、由圖形辨別信息

此類問題往往結合已知圖形的特征，經常涉及集合的包含關系、統計圖形、概率圖形等，根據相應圖形中的信息得到對應的數據信息，再結合對應的數據來解決相應的問題，達到由圖形正確處理對應的信息問題.

例2（改編題）有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖1所示，根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在區間［10，12）內的頻數為（ ）.

A.18 B.36 C.54 D.72

對于高職院校學生來講，英語依舊是必修課程，但是非英語專業的學生在學習英語時難度相對較大，而且大多數學生會對英語產生抵觸情緒。再加上現實生活中，缺乏完善的語言應用環境，學生在學習英語口語時，很容易出現錯誤，即少數學生的英語應試能力良好，而口語表達能力明顯不足，無法用簡單的英語進行交流。語言之所以存在，就是為給人際交往提供便利，如果英語學習只是單純應對考試，那么真正價值就難以得到充分發揮。所以，英語教師通過深化改革并創新教學模式，以此提高學生的口語表達能力已經成為必然趨勢。PBL教學模式以其自身的獨特優勢，在英語口語教學中備受青睞，其主要通過創建語言環境，設置開放式，具有現實意義的問題。

分析：正確分析統計中對應的頻率分布直方圖所對應的統計信息，再結合這些統計信息得到對應，根據對應的公式加以計算.

解析：根據頻率分布直方圖，［10，12）這個區間所對應的頻率為：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，其對應的的數值為0.18÷2=0.09，那么容量為200的樣本的數量在［10，12）的頻數為200×0.18=36.故選B.

圖1

點評：通過頻率分布直方圖中的圖形信息來進行相關的運算問題，達到運用圖表解決實際問題的水平和能力.正確讀懂頻率分布直方圖，根據相應圖中的信息得到對應的數據信息是統計數據處理的關鍵所在.

三、由圖形轉化圖形

此類問題往往出現在立體幾何中，把相應的三視圖轉化為對應的立體幾何的直觀圖、把對應的平面幾何圖形折疊成相應的立體幾何圖形等，通過圖形的轉化，建立對應之間的等量關系與不變量，結合圖形的性質加以分析與處理.

例3（2015年1月湖北省襄陽市普通高中調研統一測試）若某多面體的三視圖如圖2所示，則此多面體外接球的表面積是（ ）.

分析：關鍵是結合三視圖準確確定對應的幾何體的直觀圖，再結合直觀圖的性質確定其對應的外接球問題即可.

解析：結合三視圖可得其對應的幾何體如圖3所示，其是正方體去掉一個角后的幾何體，它的外接球就是該正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線，而其對角線的長度為=，其對應的外接球的半徑為那么對應的外接球的表面積為S=4πr2=3π.故選D.

圖2

圖3

點評：在確定三視圖中的有關表面積問題時，一般要結合直觀圖的實物加以分析，通過構造各長度之間的相應關系式，并結合簡單幾何體的表面積公式加以求解.關鍵是對幾何體正確還原，并根據三視圖的長度求出幾何體的幾何元素的長度，再代入對應的公式進行求解，考查了空間想象能力.

四、由圖形解決問題

此類問題往往結合給定的函數圖像、幾何圖形及其變化的特殊加以分析，確定函數的變化規律以及圖形中特征所在，進而用來解決一些相應的問題（包括數學問題、實際應用問題等），進而達到利用圖形解決問題的目的.

A.S圓＞S圓環B.S圓=S圓環C.S圓＜S圓環D.不確定

圖4

分析：設截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），結合圖形以及比例關系分別確定截面圓與圓環對應的面積，進而加以分析與比較，得以正確判斷.

解析：設此時截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），那么S圓=πr2=π（R2-h2），S圓環=πR2-πr2，而這里有，即r=h，則有S圓環=πR2-πh2，故有S圓=S圓環.故選B.

點評：通過圖形中的動態變化規律來解決靜態的函數關系、不等關系等是圖形問題中比較常見的一類應用類型，解決此類問題的關鍵是引入對應的參數，通過計算與比較來加以正確分析與判斷，進而達到解決問題的目的.

五、由圖形確定函數

此類問題往往結合圖形（函數圖像、向量、算法的程序框圖等）特征，建立相應的函數關系式來解決對應的函數問題，關鍵是抓住圖形特征，分析圖形中的規律與關鍵點，進而建立函數關系式來達到解決問題的目的.

例5（廣東省廣州市2015屆高三1月模擬考試）某算法的程序框圖如圖5，若輸出的則輸入的x的值可能為（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.5

分析：結合算法的程序框圖確定分段函數的解析式，通過分段函數的取值情況加以分類討論，結合各對應的選項加以判斷即可.

圖5

點評：正確理解相應的算法的程序框圖，利用圖形轉化為相應的分段函數，進而結合函數值的關系來確定函數值問題、利用基本不等式與函數式的求解來解決最值問題等，達到利用圖形解決函數問題的目的.

眾所周知，通過圖形轉化為代數、通過代數轉化為圖形或通過圖形轉化為圖形等，巧妙通過數形結合，根據對應的圖形巧妙轉化為對應的代數關系，或結合題設特點巧妙的構造符合條件的圖形，或借助于已知圖形畫出另外的圖形，通過對代數的研究、圖形的觀察與分析，借助圖形的直觀性，往往能簡便、準確求解.W