例談高三解題教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

（宜昌市夷陵中學(xué) 湖北宜昌 430000）

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞指出“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題”。在實(shí)施新課標(biāo)理念和高考的雙重背景下，有效提高解題教學(xué)的質(zhì)量，提升學(xué)生綜合能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)是廣大一線教師的不懈追求。解題教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題、善于解題、取得好成績(jī)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，為學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

高三解題教學(xué)包括例題教學(xué)和習(xí)題教學(xué)。前者常出現(xiàn)于一輪、二輪復(fù)習(xí)的典型例題分析中，以教師為主導(dǎo)，通過探中抽知、串知成鏈，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)過的概念、公式、定理、法則等解決數(shù)學(xué)問題；后者常出現(xiàn)于作業(yè)題、試卷評(píng)講分析中，以學(xué)生為主體，充分暴露思維過程。在例題教學(xué)和習(xí)題教學(xué)中均可以通過一題多解、一題多變、多題一解等方式培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。解題教學(xué)質(zhì)量高低的關(guān)鍵是看學(xué)生的思維是否主動(dòng)、積極、深度的參與解題教學(xué)活動(dòng)。

一、高三解題教學(xué)首先要引導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)

概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素。對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)、提高數(shù)學(xué)思維能力的最好途徑。章建躍博士認(rèn)為，概念及其蘊(yùn)含的思想方法才是根本大法，只有圍繞數(shù)學(xué)概念的核心開展教學(xué)，在概念的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法上給予點(diǎn)撥、講解，讓學(xué)生在理解概念及其所反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上，對(duì)細(xì)節(jié)問題、變化的問題進(jìn)行深入思考，才能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

這道題得分的情況不甚理想，筆者所帶的是年級(jí)成績(jī)較好的班級(jí)，全班50人，出錯(cuò)27人次。此題當(dāng)時(shí)放在填空題第15題位置，除開極少數(shù)學(xué)生對(duì)此位置填空題的恐懼、不自信因素，更多是對(duì)數(shù)列的概念本質(zhì)理解不夠透徹。

從后來的總結(jié)分析發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生能理解題意，對(duì)任意的兩個(gè)正整數(shù)m,n(m≠n)都有(m-n)(am-an)＞0轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}在n∈N*上單調(diào)遞增。學(xué)生中有如下思路與結(jié)果：

思路一：y=(3-a)x-3在(-∞,7]上單調(diào)遞增，有3-a＞0，且y=ax-6在(7,+∞)上單調(diào)遞增，有a＞1，故1＜a＜3；

思路二：除了a＜3，還要注意端點(diǎn)處，即(3-a)7-3 ≤a，解得

正解：由題知1＜a＜3，由數(shù)列{an}在n∈N*上單調(diào)遞增有解得

思考：部分學(xué)生未理清題意，誤認(rèn)為是分段函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增；多數(shù)同學(xué)沒有弄清函數(shù)單調(diào)遞增與數(shù)列單調(diào)遞增的差異，以為數(shù)列單調(diào)遞增，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)也單調(diào)遞增，其轉(zhuǎn)化是不等價(jià)的。追根溯源，實(shí)則為學(xué)生對(duì)數(shù)列的概念沒有理清。數(shù)列其實(shí)是一種特殊的函數(shù)，我們可以用研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列，回到數(shù)列的概念：按一定次序排成的一列數(shù)，通項(xiàng)公式為an=f(n)，定義域?yàn)镹*或其子集，圖像是一系列孤立的散點(diǎn)。散點(diǎn)的變化規(guī)律與連續(xù)變化的曲線的變化規(guī)律既有聯(lián)系又有區(qū)別，本例思考的節(jié)點(diǎn)在于n=7和n=8時(shí)，數(shù)列{an}圖像中兩個(gè)點(diǎn)的比較。

思路一：

思路二：

思路三：

不妨設(shè)x1＞x2＞0，則等價(jià)于f(x1)-2x1＞f(x2)-2x2，令g(x)=f(x)-2x，有g(shù)(x1)＞g(x2)在(0,+∞ ) 上 恒成 立，即g(x)=f(x)-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則在(0,+∞)上恒成立，有a≥ 2x-x2在(0 ,+∞ )上恒成立，解得a≥1。（教師點(diǎn)撥，與學(xué)生共同完成）

點(diǎn)評(píng)：思路一近乎解答題的做法比較龐雜，不符合小題小做、小題巧做的規(guī)律，學(xué)生的想法值得肯定但思維的節(jié)點(diǎn)未合理突破；思路二的問題在于利用拉格朗日中值定理，其轉(zhuǎn)化是不等價(jià)的，且屬于高等數(shù)學(xué)范疇，不是通性通法；思路三立足高考考綱范圍內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)，利用單調(diào)性定義將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的問題，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為恒成立問題。

二、高三解題教學(xué)中可以適時(shí)采用變式教學(xué)激活學(xué)生的思維

根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生是認(rèn)知的主體，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主動(dòng)建構(gòu)者，課堂教學(xué)中，教師只是認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)過程的組織者、指導(dǎo)者、腳手架搭起者。解題教學(xué)也不例外，在解題教學(xué)中，教師通過精心設(shè)計(jì)一組有中心、有聯(lián)系、有層次、環(huán)環(huán)相扣的變式問題，給學(xué)生搭起輔助支架，以變式問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度，對(duì)不同問題開展探究活動(dòng)，這對(duì)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)的積極性，有效完成學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)是有益的。

思考：愛因斯坦說“提出問題比解決問題更重要”。教師通過創(chuàng)設(shè)民主課堂，建立積極和諧的師生關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生自行設(shè)計(jì)題目，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，極大程度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維及學(xué)習(xí)潛能，鍛煉了學(xué)生“如何數(shù)學(xué)地提出問題并分析問題”的能力。在這種開放的教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生主動(dòng)性得以加強(qiáng)，思維能力得以提升，教師的“無為”造就了學(xué)生的“有為”。

但在設(shè)計(jì)題目的活動(dòng)中，對(duì)學(xué)生天馬行空的設(shè)計(jì)教師需要把握一個(gè)合適的度，在肯定學(xué)生積極主動(dòng)思考問題的同時(shí)又必須緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，所以教師需要及時(shí)對(duì)學(xué)生設(shè)計(jì)的問題進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)評(píng)與修改。

筆者隨后補(bǔ)充了如下題目：

1.已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線方程；

2.已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與坐標(biāo)軸圍成的面積為8，求直線方程；

3.已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，思考△AOB的面積是否存在最值，并研究當(dāng)面積取得最值時(shí)直線的方程。

并與學(xué)生共同探究第3題，學(xué)生給出了這樣的思路與解法：

生8：△AOB的面積不可能有最大值，但有最小值。考慮到△AOB為直角三角形，可以考慮設(shè)直線方程的截距式依題有利用基本不等式得到ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=4 ,b=2 時(shí)有面積的最小值4，此時(shí)直線方程為x+2y-4=0；

教師：哪位同學(xué)能點(diǎn)評(píng)一下這兩種方法么？

生10：法一用兩個(gè)變量a,b很簡(jiǎn)潔地表示了面積，法二只用了一個(gè)變量k來表示面積，兩種方法均用到了基本不等式；

教師：點(diǎn)評(píng)得很好。方法二將面積S表示成了關(guān)于k的一個(gè)……？

學(xué)生：函數(shù)；

教師：方法一能否利用函數(shù)的觀點(diǎn)來研究？

教師：我們還能選擇其他的變量來表示面積么？

生12：可設(shè) ∠PAO=α，利用三角函數(shù)的知識(shí)來刻畫面積S，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有Smin=4，此時(shí)對(duì)應(yīng)直線的斜率為方程為x+2y-4= 0 ；

生13：他的方法很不錯(cuò)，中間我們還可以使用柯西不等式來求最值，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有Smin=4筆者隨后給出了如下變式題：

變式一、設(shè)直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且直線l與單位圓相切于點(diǎn)P，求△AOB的面積S的最小值。

學(xué)生思考片刻后，筆者鼓勵(lì)完成解題的學(xué)生在黑板上寫出解答過程與大家共同分享，結(jié)果先后共有13位學(xué)生上臺(tái)書寫解答，最后筆者與學(xué)生共同梳理、比較、提煉，摘錄如下：

法一：設(shè)直線Ax+By+C=0，

變式二、已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求的最值。（或變?yōu)榍驪A·PB的最值）

變式三、已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求OA+OB的最小值。

變式四、已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求OA2+OB2的最小值。

變式五、已知直線過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB的周長(zhǎng)的最小值。

思考：在解題教學(xué)中，教師可在學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)計(jì)問題，可嘗試對(duì)來源于課本的習(xí)題進(jìn)行改編，設(shè)計(jì)能引起學(xué)生積極思維的問題，讓學(xué)生能“跳一跳夠得著”，通過一題多解、一題多變進(jìn)行不同方面、不同角度、不同層次的分析和探索，進(jìn)而提高課堂效率，讓學(xué)生在思考探究的過程中尋求各種解題途徑，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅、增強(qiáng)自信心，也很好地培養(yǎng)了思維能力。同時(shí)注意解后對(duì)多種解法進(jìn)行反思、評(píng)價(jià)、提煉，深入推進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)，從而更好地提高思維層次。

三、在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成解后反思的好習(xí)慣

波利亞在《怎樣解題》中把解題過程概括為四個(gè)環(huán)節(jié)：審題——探究——表達(dá)——反思。但在很多師生的眼里，認(rèn)為解題就是前面的三個(gè)環(huán)節(jié)：認(rèn)真審題讀懂題意，在大腦中檢索、聯(lián)想并設(shè)計(jì)解題思路，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地寫出解答過程。尤其是學(xué)生，他們解題的興奮點(diǎn)大多在結(jié)果上，一旦解出正確結(jié)果，喜上眉梢，如釋重負(fù)，卻忽視了解后的反思。

案例三、已知函數(shù)f(x)= s in3x+ 2 015x， 對(duì)任意的m∈[- 2 ,2]，都有不等式f(mx- 2 )+f(x)＜ 0 恒成立，則x的取值范圍是________________

反思知識(shí)點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、導(dǎo)數(shù)、“一次”不等式恒成立；

反思易錯(cuò)點(diǎn)：關(guān)于m的“一次”不等式恒成立問題；

反思解題的實(shí)質(zhì)：想辦法“脫去”對(duì)應(yīng)法則f這件“外衣”；反思用同樣的方法做過的題目（學(xué)生舉例說明）

2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2，若對(duì)任意的x∈[t,t+2 ]，不等式f(x+t) ≥ 2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

筆者隨后給出如下習(xí)題，讓學(xué)生思考與原題的區(qū)別：

實(shí)質(zhì)：本題是“穿上”對(duì)應(yīng)法則f這件“外衣”。

在解題教學(xué)中，教師可以從以下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：解決問題的關(guān)鍵是什么？如何進(jìn)行突破？還有其他的解法嗎？解決這類問題的最佳方法是什么？這種思路為什么行不通？本題能否進(jìn)行變式、推廣和延伸？

問題是數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，解是問題的終點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是連接問題和解題的紐帶和橋梁。在解題教學(xué)中，在注重夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，倡導(dǎo)理性思維、強(qiáng)化探究變式與拓展，變教師的主講為主導(dǎo)、變教師的精辟分析為學(xué)生的思索感悟，要能夠充分放手讓學(xué)生參與自主探究、合作交流活動(dòng)，使學(xué)生在成功與失敗、正確與錯(cuò)誤的矛盾沖突中層層深入，激起學(xué)生思維碰撞的火花。