正弦型函數圖像的變換及其應用

（華中科技大學附屬中學高三（4）班 湖北武漢 430000）

一、函數y=Asin（ωx+φ）圖像的變換

函數y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常數，且A＞0，ω＞0）是一種重要的三角函數模型，由正弦函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像，由兩種變換途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”，其變換規律是：

1.先平移后伸縮

（1）相位變換（平移變換）。將函數y=sinx的圖像沿x軸向左平移φ（φ＞0）個單位，或向右平移丨φ丨（φ＞0）個單位，得到函數y=sin（x+φ）的圖像。

（2）周期變換。將函數y=sin（ωx+φ）圖像的縱坐標不變，橫坐標變為原來得到y=sin（ωx+φ）的圖像。

（3）振幅變換。將函數y=sin（ωx+φ）圖像的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，得到y=Asin（ωx+φ）的圖像。

2.先伸縮后平移

（1）周期變換。將函數y=sinx的圖像縱坐標不變，橫坐標變為原來的得到y=sinωx的圖像。

（2）相位變換（平移變換）。將函數y=sinωx的圖像向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移丨丨個單位，得到y=sin（ωx+φ）的圖像。

（3）周期變換。將函數y=sin（ωx+φ）圖像的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，得到y=sin（ωx+φ）的圖像。

二、應用

1.由圖像寫出與之對應的函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式，其中關鍵的確定A，ω和φ的值。A通常由最大值和最小值確定，即最大值減最小值除以2；ω由周期確定：而（這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點橫坐標），或者是將圖像上的點的坐標代入，借助待定系數法求解。

分析 雖然是部分圖形，但也能反應出函數的特征。

點評 （1）由函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖像，求此函數的表達式，其表達式往往不唯一，要根據具體問題具體分析，這類問題中，A比較容易求，困難的是求ω和φ。一般地，由圖像定周期，由周期求出ω；確定φ時，通常從圖像上看清五個關鍵點在什么地方，應該是五點作圖法中的第幾點，通過ωx+φ即可求出φ。如上例中，注意（—2，0）是五點作圖時的第一個點，所以ωx+φ=0，其中x=—2，可知再如，是五點作圖法的第二個點，所以ωx+其中x=2，可知若對A，ω或φ范圍有要求，可用誘導公式變換，使其符合要求。

（2）、如果題目不給出圖形，可以根據條件畫出示意圖，再用待定系數法求解。

分析 該題目沒有給出圖形，可畫出示意圖幫助理解。