為“數學思考”而教

張穎

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011版）》中指出，數學思考是學生進行數學學習的核心，是數學教學中最有價值的行為。2016年中國學生發展核心素養研究成果發布，培養學生數學核心素養的目標和途徑是學會數學思考。本文以數學二年級上冊“數學廣角——簡單的排列”為例，從六個方面：情境，引發數學思考；問題，誘發數學思考；探究，迸發數學思考；留白，深入數學思考；交流，提升數學思考；拓展，延伸數學思考來談談數學課堂應為數學思考而教。

【關鍵詞】 數學思考；發展；教學

《義務教育數學課程標準（2011版）解讀》中指出，數學思考是學生進行數學學習的核心，是數學教學中最有價值的行為，引發數學思考是數學課堂教學中最需要做的事之一。2016年中國學生發展核心素養研究成果發布，核心素養成了新一輪課程改革中的方向標，引領課程改革，而培養學生數學核心素養的目標和途徑是學會數學思考。

數學思考，就是在面臨各種現實的問題情境，能夠從數學的角度去思考問題，能夠發現其中所存在的數學現象并運用數學知識與方法去解決問題。良好的數學教育不僅是傳承，更應該是創新，讓學生在親歷中學會數學地思考問題，從而發展思維能力，提升理性思維。筆者以數學二年級上冊“數學廣角——簡單排列”為例，談談在數學課堂教學中如何關注學生數學思考的發展，積極地實踐為數學思考而教。

一、情境，引發數學思考

教育家葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據，要教得好，使學生受益，還要靠老師的善于運用。”我們可以這樣理解，對于教材的處理，教師要從學生實際出發，深入研讀教材，盤活教材，對教材知識進行重組和整合，變“教材”為“學材”，真正體現“以生為本”。教師由此而創設的情境，必能引發學生數學思考的開啟。

本節課教學重點為：經歷探索找簡單數排列的過程；教學難點為：進行有序、全面思考找出實際問題的排列數。為突破重難點，設計環環相扣的四個環節。

環節一：始動——經驗引入。在地圖中找家鄉溫嶺市，用紅、藍兩種顏色給溫嶺和相鄰的路橋涂上不同的顏色。

環節二：探究——引導建構。（1）增加一種顏色黃色，從紅、黃、藍三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區涂上不同的顏色；（2）把顏色換成數學1、2、3，把溫嶺和路橋換成十位和個位，用1、2和3組成兩位數。

環節三：應用——提高能力。三人站成一排合影（用字母A、B、C等其他符號記錄），有幾種站法？

環節四：拓展——聯系生活。規劃中的臺州市軌道交通一號線，假如溫嶺到椒江只有途經路橋，往返需幾種車票？

重組整合后的“學材”，來源于學生的生活，數學問題置身于生活情境之中，每一個情境都是生動的、有趣的，且層層遞進，引發學生從數學的角度看待問題、思考問題、解決問題，幫助學生體驗有序、全面思考這一數學思想方法，進而利于落實教學目標。

二、問題，誘發數學思考

孔子說過：“學起于思，思源于疑。”問題是數學的心臟，問題是促進數學思考的客觀因素。教師要認真創設具有新穎性、挑戰性和可行性的問題情境，激起學生思維的波瀾，誘發學生的數學思考。

教師設計課堂提問，應著眼于學習過程中所要解決的核心問題而分層次地創設出一系列的問題，由易到難，環環相扣，層層深入。

本節課，細數問題，除去必要的交流提問，只有以下幾個關鍵問題：

問題一：用紅、藍兩種顏色在地圖中給溫嶺和路橋涂上不同的顏色，可以怎么涂？

問題二：從紅、黃、藍三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區涂上不同的顏色，有幾種不同的涂法？

問題三：用1、2和3組成兩位數，每個兩位數的十位上的數字和個位上的數字不能一樣，能組成幾個不同的兩位數？

問題四：三人站成一排合影，有幾種站法？（為了方便記錄，我們用字母A來表示爺爺，字母B來表示爸爸，字母C來表示兒子或用其他符號表示。）

問題五：規劃中的臺州市軌道交通一號線。假如溫嶺到椒江只有途經路橋，請問往返需幾種車票？

問題六：你喜歡哪一種方法？為什么？

問題七：我們解決了地圖涂色問題等問題，有什么相同的地方？

在問題的設置中，真正做到：“易行”，把復雜問題分散到各個環節中，復雜問題分散化，簡單化，層次化；“精準”，所提的問題少而有用，準而明確，提在要探究、要解決的重難點處；“向導”，問題具有方向性和引導性，由淺入深，循序漸進，學生在解決一系列的問題后自然達到我們要的目標。本課巧借問題而如期達成，幾個關鍵問題，為學生的思考指明了方向，誘發了學生的數學思考。

三、探究，迸發數學思考

數學課堂，不只是學生獲取知識，更重要的是發展學生們的思維能力，促進學生的數學思考。而自主探究學習，就是實現這一目標的重要學習方式。學生自己的認識水平和已有的知識經驗的基礎上，在教師的精心指導和幫助下，通過自己的獨立探索或合作交流，從而獲取知識、發現數學本質、發展數學思維的過程。

因此，教師應該在課堂中給予學生充分探究的機會，調動學生參與活動的積極性，發揮學生自主探究的能動性。讓學生在探究中自主學習，在探究中質疑問難，在探究中尋找快樂。

自主探究是本節課學生主要的學習方式，針對本節課設計的第二、三、四環節，設計四個探究活動，分別為：我會涂、我會寫、我會排、我會畫。

課堂中，始終重視學生的主體地位，借助教師精心設計的涂顏色、寫數字、排位置、畫路線等活動，通過獨立思考、自主探究、動手實踐而迸發數學思考、獲得知識技能，而得到全面發展。

四、留白，深入數學思考

留白來源于繪畫藝術形式，其實數學教學也可借鑒留白手法，給學生呼吸的“氣眼”，數學思考才能靈動生長，枝繁葉茂。

時下許多課堂，當教師提出問題后，常常讓一部分馬上舉手的尖子生回答，而絕大部分學生還沒有好好思考。這樣的教學是不可能培養多數學生的思考力的。因此，學生在思考時，需要老師在課堂中耐心等待，不要急于把問題的思路給學生，不要輕易肯定或否定學生的想法，而要留給學生思考的時間和空間。這樣學生才能深入數學思考，生成新的智慧。

教學片段：

師：（出示圖1）用紅、藍兩種顏色給溫嶺和路橋這兩個地區涂上不同的顏色，可以怎么涂？

學生舉手踴躍，師指名回答：給溫嶺涂紅色，給路橋涂藍色；也可以給溫嶺涂藍色，路橋涂紅色。

師：老師把你們的方法展示出來（課件播放）。

小結：是的，用紅藍兩種顏色，交換位置，就形成兩種不同的涂法。

如果再增加一種顏色：黃色。

讀題：從紅、黃、藍三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區涂上不同的顏色，有幾種不同的涂法？

學生舉手，師：不著急說，我們先來涂一涂。拿出作業紙和水彩筆，在第一題“我會涂”中涂一涂。（圖2）

圖1作為始動——經驗引入環節，問題簡單，在學生片刻思考后，即指名口頭回答；圖片2作為探究——引導建構環節，處理方式和圖1完全不同。問題一出，學生興趣高漲，馬上有學生舉手（這時，學生的答案猜測的為多），但教師不急于讓學生回答，而是靜候越來越多的學生舉手，留給學生獨立思考、自由思考的空間。然后出示（圖2）讓學生在作業紙中涂一涂，學生在教師留給的時間里充分暴露自己的思維過程，也為接下來的方法展示提供了充分的素材。

五、交流，提升數學思考

數學交流是學生把內部思考轉變為外部語言的一條重要途徑，更是學生進行有效學習的一種手段。在數學交流過程中，學生能夠表達自己的思維方法及過程，可以組織和強化自己的數學思考，可理清數學思考的過程，鞏固數學思考的結果；同時，通過思考他人的想法，相互啟發、相互認可，豐富和擴展自己的知識和思維，深化對數學知識的理解。

1.暢所欲言

教師應在課堂教學中積極創設數學交流的環境，讓學生將自己的思考教程用數學語言、數學符號通過口頭或書面表達出來，從而促進學生數學思考能力的提高。

在每個活動后，我都讓學生來表達自己的想法，“你有什么想說的？”“請你和大家分享一下你的想法。”“有沒有不同的方法？”“誰愿意帶著自己的作品上臺向大家展示下？”“聽明白了嗎？誰也能像他這樣說一說？”

當學生把想法呈現給其他學生的時候，教師給的是等待，讓他們充分表達自己的思維。當學生通過語言交流再現數學思考，處于混沌狀態的數學思考才能逐漸明晰起來，從而促進了學生數學思考的提高，創造性思維能力的發展；而其他學生在用耳去辨析的過程中也有所收獲。

2.及時點撥

小學生的思維特點是從具體形象思維逐步向抽象思維發展。隨著學生的經驗積累，隱藏在數學知識后面的多種方法就會逐漸引起學生的注意和思索，但因學生的思維能力原因，需要教師根據教學的需要，巧妙地運用點撥，進行正面突破，對數學思想方法進行提煉。

【教學片斷】

老師收集了幾幅典型作品，我們來欣賞一下。

1.無序。

問：你有什么發現？（重復）有沒有遺漏？ 板書：重復、遺漏。

2.確定位置法。

師：這是誰的作品？請你來表達一下想法。我們按照他的想法來貼一貼。（用磁鐵片在黑板上貼）

3.交換位置法。

師：這是誰的作品？請你和大家分享一下你的想法。我們按照他的想法來貼一貼。（用磁鐵片在黑板上貼）

師：有沒有不同方法？（如有，據實歸為1、2、3種方法。）

師：這三種方法你喜歡哪一種？你為什么喜歡第二種和第三種？

板書：有序思考——不重復、不遺漏。

給有序的兩種方法取名。

回過頭來看第一種有沒有遺漏？

“這三種方法你喜歡哪一種？你為什么喜歡第二種和第三種？”看似隨意的問題，為學生指點迷津，撥開疑霧，水到渠成地引出本節課的數學思想方法：有序思考，促進學生由感性認識上升為理性思考，實現知識與能力的雙重轉化。

“給有序的兩種方法取名”，正面地、直截了當地點明“確定位置法”和“交換位置法”，為后續的一系列活動指明了方向。

【拓展，延伸數學思考】

特級教師閆學曾說過：“好課是一道芬芳、幽遠的茶。”合理拓展課堂教學內容，溝通數學知識與大千世界的聯系，讓學生在更廣闊的數學天地中解決問題，體驗成功，創生思維，提升學習品質。

教學中，只要我們克服隨意性、盲目性，圍繞教學內容，針對教學重點，客觀分析學情，精選內容，凸顯自主性、創新性，對課堂教學進行有效拓展，既豐富了課程內容資源，又為發展學生的數學思考服務，最終達到發展思維、提高數學素養的目的。

本課的最后一個活動：拓展——聯系生活，我是這樣設計的。

（1）我們的家鄉在不斷地發展。按照臺州市規劃，椒江至溫嶺的臺州市軌道交通一號線已通過評審， 規劃中的一號線北起椒江外沙，南至溫嶺南屏，連通椒江、路橋、溫嶺三地。假如溫嶺到椒江只有途經路橋，請問往返需幾種車票？（在操作紙中畫一畫，后交流反饋，總結有序思考的方法：確定位置法和交換位置法。）

（2）知識鏈接：地圖四色→課前的無色到彩色。（課件演示）

這樣的活動與學生現實生活有密切聯系，是學生感興趣的內容；立足于教學實際，圍繞教學重難點，實現了知識與生活和兒童認知世界的交匯，是有效的課堂教學拓展。解決問題時，是有序、全面思考的輻射和延續；是方法運用的深化和提高。

總之，我們的數學課堂，要創設引發學生數學思考的良好情境，要設計誘發學生數學思考的關鍵問題，要開展迸發學生數學思考的探究活動，要留給學生深入數學思考的時間和空間，要給足提升數學思考的交流機會，要增加延伸數學思考的拓展內容，真正使我們的孩子受到良好的數學教育，形成良好的數學素養。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.小學數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

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[4]陶芳.對“數學思考”的思考[J]. 教育研究與評論：小學教育數學，2015（08）.