變中抓不變 突破含參問題

顏麗芳

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2018）34-0183-02

隨著中考改革的不斷深化，杭州市近年數(shù)學(xué)中考整體難度下降明顯，重基礎(chǔ)、重思想方法得到了較好的體現(xiàn)，特別是每年的第22題含有參數(shù)的二次函數(shù)已經(jīng)成為杭州市數(shù)學(xué)中考的一大特色，此類題目考查的本質(zhì)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，教學(xué)中需要讓學(xué)生明確：掌握圖像變化的不變性，結(jié)合對稱軸和開口方向是解決問題的關(guān)鍵。

一、考題分析

1.【2016年杭州中考第22題】

在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）.

（1）若函數(shù)y1的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），函數(shù)y2的圖象過點(diǎn)（1，2），求a，b的值.

（2）若函數(shù)y2的圖象經(jīng)過y1的頂點(diǎn).

①求證：2a+b=0；

②當(dāng)1

【解答】解：（1）由題意得：0=a-b2=a+b ，解得：a=1b=1 ，

（2）①證明：∵函數(shù)y1的頂點(diǎn)為（-b2a ，-b24a ），∴-b24a =a（-b2a ）+b，即b=-b22a ，∵ab≠0，∴﹣b=2a，∴2a+b=0.

②方法一（作差法）：

∵b=﹣2a，∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，

∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）.∵1

∴x﹣2<0，x﹣1>0，∴（x﹣2）（x﹣1）<0.

當(dāng)a>0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）<0，y1

當(dāng)a<0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）>0，y1>y2.

方法二（圖象法）：求解方程兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a），（2，0），近似圖象根據(jù)a的正負(fù)作出：

【立意】這是一道函數(shù)綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)有：用待定系數(shù)法建立方程組并求解，公式變形，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，以及增減的性質(zhì)；考查的能力有：運(yùn)算與推理能力、觀察和作圖能力；考查的思想方法有：轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合。

2.【2017年杭州中考第22題】

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0.

（1）若函數(shù)y1的圖象過點(diǎn)（1，﹣2），求函數(shù)y1的表達(dá)式；

（2）若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與二次函數(shù)y1的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；

（3）已知點(diǎn)P（x0，m）和Q（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，若m

【解答】解：（1）把點(diǎn)（1，﹣2）代入y1=（x+a）（x﹣a﹣1），得a1=﹣2，a2=1，∴y1 =x2﹣x﹣2；

（2）令y1=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，∴y1的圖象與x軸的交點(diǎn)是（﹣a，0），（a+1，0），當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過點(diǎn)（﹣a，0）時(shí)，﹣a2+b=0，即b=a2；當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過點(diǎn)（a+1，0）時(shí)，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；

（3）解法一（圖象法）：拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=12 ，當(dāng)x≤12 時(shí)，y隨x的增大而減小，（1，m）與（0，n）關(guān)于對稱軸對稱，由m

解法二（作差法）：m=x20-x0-a2-a，n=-a2-a

∴m-n= x20-x0= x0 （x0-1） <0， ∴0

【立意】本題是圍繞二次函數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的特征擴(kuò)展，考查的知識(shí)點(diǎn)有：用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)、以及二次函數(shù)圖象增減；考查的能力有：運(yùn)算能力、觀察和作圖能力；考查的思想方法有：轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合。

3.【2018年杭州中考第22題】

設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常數(shù)，a≠0）.

（1）判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

（2）若該函數(shù)圖象過點(diǎn)A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，求二次函數(shù)的表達(dá)式.

（3）若a+b<0，點(diǎn)P（2，m）（m>0）在該二次函數(shù)圖象上，求證：a>0.

【解答】解：（1）由題意△=b2﹣4oa[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0，∴當(dāng)2a+b=0時(shí)，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為一個(gè)；當(dāng)2a+b≠0時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

（2）當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b﹣（a+b）=0，∴拋物線不經(jīng)過點(diǎn)C

把點(diǎn)A（﹣1，4），B（0，﹣1）分別代入得4=a-b-（a+b）-1=-（a+b） 解得 a=3b=-2

∴拋物線表達(dá)式為y=3x2﹣2x﹣1.

（3）解法一（作差法）：當(dāng)x=2時(shí)，m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b>0①

∵a+b<0②，①-②得：2a>0，∴a>0.

解法二（圖象法）：函數(shù)過點(diǎn)（1，0），

（0，-a-b），（2，m），其中-a-b>0， m>0，

畫出大致圖象得a>0

【立意】本題所考查的知識(shí)點(diǎn)有：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)；考查的能力有：運(yùn)算與推理能力、觀察和作圖能力；考查的思想方法有：轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等。

二、試題點(diǎn)評

此三道含參函數(shù)題目類型相同，題目都是從三個(gè)層面顯性展開：首先，給定一個(gè)或兩個(gè)特殊點(diǎn)（由參數(shù)的個(gè)數(shù)決定）用待定系數(shù)法求參數(shù)的特值或者函數(shù)表達(dá)式；其次增加一個(gè)一般性的條件得出一般性結(jié)論；最后求在給定的區(qū)間內(nèi)變量的取值范圍或比較大小。考查的知識(shí)點(diǎn)主要是拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程（或者不等式）之間的關(guān)系。解題方法也比較常規(guī)，特別是第三小題，都可以選擇用作差法比較大小或者用圖象法比較，難度不大。學(xué)生在解題中造成思維停滯的主要原因是無法理解參數(shù)對圖象的“決定性”牽制。初中階段，含參函數(shù)問題一般是通過坐標(biāo)點(diǎn)建立方程（組）或不等式進(jìn)行解題，當(dāng)然，利用圖象往往會(huì)讓答案更一目了然。

三、教學(xué)建議

含參問題作為近年杭州市數(shù)學(xué)中考的必考題，老師們花了大量的時(shí)間去研究，但從最后的考試成績來看并不理想，以筆者參加2018年中考第22題的閱卷為例，本題相對往年難度下降不少，直接根據(jù)題目要求代入條件計(jì)算即可，但學(xué)生的得分率也只有0.48，根據(jù)閱卷情況，在平時(shí)教學(xué)中筆者提出如下建議。

1.注重基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)計(jì)算能力。

良好的計(jì)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，筆者在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)：系數(shù)符號(hào)不清、去括號(hào)錯(cuò)誤、合并同類項(xiàng)系數(shù)出錯(cuò)、待定系數(shù)出錯(cuò)、解方程出錯(cuò)等等，如此多的計(jì)算錯(cuò)誤令閱卷老師吃驚。函數(shù)問題涉及方程與不等式的計(jì)算，歸根到底就是代數(shù)式中的項(xiàng)與系數(shù)的概念、代數(shù)式的化簡，因此，在七年級開始學(xué)習(xí)數(shù)與式時(shí)就必須要讓學(xué)生理解算理，熟練算法。

2.注重通性通法，提高解題能力。

在“通性通法”中，“通性”就是概念反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法。

進(jìn)入復(fù)習(xí)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)主要是解題教學(xué)，解題教學(xué)的目標(biāo)是鞏固概念、學(xué)會(huì)思考、培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣、發(fā)展分析問題和解決問題的能力。在實(shí)際解題教學(xué)中，很多教師對解題技巧和數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)不清，受技巧之“巧”的誘惑，把注意力放在“題型+技巧”上，而忽視了通性通法，長期以往，學(xué)生忘記了解題的根本，沒有學(xué)會(huì)最基本的數(shù)學(xué)思考方法，導(dǎo)致中考數(shù)學(xué)的失敗。

3.研究考綱課本，提高復(fù)習(xí)效率。

《杭州市初中畢業(yè)升學(xué)文化考試命題實(shí)施細(xì)則》（2018年）中對知識(shí)技能、過程與方法的掌握程度的要求從高到低分為三個(gè)層次，用“了解·經(jīng)歷”、“理解·體驗(yàn)”、“運(yùn)用·探索”來界定，并依次用a、b、c表示。函數(shù)部分的考試內(nèi)容第6條（結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，對變量的變化情況進(jìn)行初步討論）考試要求為c、第10條（二次函數(shù)的意義、表達(dá)式、圖象和性質(zhì)）考試要求為c。

根據(jù)考綱要求，含參的函數(shù)問題可以說是最好的考查載體，因此本模塊內(nèi)容的教學(xué)顯得尤為重要，以筆者設(shè)計(jì)的二次函數(shù)復(fù)習(xí)課為例。附：二次函數(shù)（含參專題）復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課堂前測：

1.已知y=ax2+bx+c的圖像上的部分點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)如下：

x…﹣3﹣2﹣101…

y…﹣60466…

根據(jù)表格，下列說法正確的有。

①拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0）；②拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，6）；③拋物線的對稱軸是直線x=12；④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）；⑤在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少.

2.已知拋物線y=-（x-h）2+2，當(dāng)x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，則h的取值范圍是.

（二）例題講解。

已知關(guān)于x的函數(shù)y=x2+2kx+k2-1（k為實(shí)數(shù)）

（1）根據(jù)這個(gè)表達(dá)式，你能得到哪些結(jié)論？

（2）對于任何負(fù)實(shí)數(shù)k，當(dāng)x

（三）鞏固提升。

已知關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+（2k-1）x-2（k為常數(shù)）

（1）求證：不論k取什么值，此函數(shù)一定經(jīng)過（-2，0）；

（2）當(dāng)x>0時(shí)， y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；

（3）試問該函數(shù)是否存在最小值-3？若存在，請求出此時(shí)k；若不存在，請說明理由.

（4）當(dāng)x≤-1時(shí)，函數(shù)有最小值為-3，求k的值.

（四）課后練習(xí)。

1.已知二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），當(dāng)x分別取x1、x2（x1≠x2）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x=x1+x2時(shí)，y等于

2.若直線x=1是拋物線函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是實(shí)數(shù)，且a<0）的對稱軸，則（ ）

A.若m>1，則（m﹣1）a+b>0

B.若m>1，則（m﹣1）a+b<0

C.若m<1，則（m﹣1）a+b>0

D.若m<1，則（m﹣1）a+b<0

3.已知關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2kx-2c（k≠0）

（1）點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，其中P1（1，h1），P2（-3，h2）為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的兩個(gè)位置，比較h1，h2的大小；

（2）點(diǎn)M（m， h1）和Q（3，h2 ）在函數(shù)圖象上，且h1> h2，求m的取值范圍；

（3）點(diǎn)N（m，h）為圖象上點(diǎn)，當(dāng)-4≤m≤1時(shí)，h的取值范圍為-4≤h≤1，求函數(shù)的表達(dá)式.

筆者認(rèn)為，參數(shù)問題的教學(xué)應(yīng)始終圍繞函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)展開，讓學(xué)生理解“參數(shù)”對函數(shù)圖象的“決定性”牽制，能夠“化動(dòng)為靜”，作出大致圖象，找出其中不變的性質(zhì)。數(shù)學(xué)解題教學(xué)，在鞏固概念的同時(shí)，學(xué)生應(yīng)掌握必要的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)規(guī)律，找到問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《杭州市初中畢業(yè)升學(xué)文化考試命題實(shí)施細(xì)則》，2018年.

[2] 《注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》，章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄，浙江教育出版社，2017年6月.