重“閱讀能力”，重“概念理解”

劉護靈

概率與統計在高中數學中具有獨立性，由于和實際生活聯系緊密，同時又是大學統計學的基礎，起著承上啟下的作用，現已成為高考持續的熱點.2018 年高考數學全國I卷試題難度適中、穩中求變、導向明確，體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性，其中概率統計題在理科試卷中仍是以一道小題（選擇題第3題）加一道大題（解答題第20題），所占分值仍然是5+12=17分，值得注意的是，和歷屆高考試題不同，今年概率統計大題放在了大題中的第四道（排在了解析幾何大題后面），意味著難度有了一定的增加.

一、原題呈現

例題.（12分）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

二、第一問的分析與解

拿到試卷看到試題的第一印象是，題目文字很多，這是近幾年高考數學試題的特點.需要同學們靜心閱讀文字材料，看懂每一個條件的意義和作用.

（1）第一句是大前提：“某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.”

（2）第二句指明了檢驗的方法：“檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0

前面兩句話正是統計在生活中的典型應用——抽樣檢驗，而不是全部每一件都檢驗.

第一問“記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0”.

問題1：什么叫“20件產品中恰有2件不合格品”？

問題2：若改為“20件產品中恰有3件不合格品”，又怎么求？

問題3：還可以怎么問？如改為“20件產品中至多有2件不合格品”？或者“20件產品中至少有2件不合格品”？

綜合以上問題，這里考察的是：n次獨立重復實驗中，恰好發生k次的概率.

基礎知識復習鏈接：

1. 獨立重復試驗的定義：

指在同樣條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗

2. 獨立重復試驗的概率公式：

一般地，如果在1次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率Pn（k）=[Ck][n] P k（1-P）n-k.

它是[（1-P）+P]n展開式的第k+1項.

三、第二問的分析與解

由（1）知，p=0.1.

第二問有兩個小問，第（i）個小問求：若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX.

這道題目的難點在于，賠償費用的和X并不是一個直接的隨機變量！“賠償費用”是和“余下的180件產品中的不合格品件數”密切相關的.

所以，必須設一個新元，例如設Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y～B（180，0.1），

而X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.

由于EX>400，故應該對余下的產品作檢驗.

反思3：在學習概率統計時，要理解概念，掌握課本中關于以下方面的基礎知識：

①什么叫“一次試驗”“一次試驗結果具有什么特征”？

②依托具體情境領悟“等可能”“互斥（對立）”“獨立”關系.

③能將復雜事件分解為“互斥和”“獨立積”.

④分布列性質（非負、和為1），期望公式，方差公式.

⑤二項分布、幾何分布及正態分布.

⑥頻率分布條形圖和直方圖及應用.

⑦抽樣方法和線性回歸.

反思4：回顧本題的解決過程，實際上是考察學生對問題題意的正確理解，對基本概念的真正掌握（例如什么是“獨立重復實驗”，等等）.《普通高中數學課程標準》指出：“數學教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握， 對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終， 幫助學生逐步理解.由于數學高度抽象的特點， 注意體現基本概念的來龍去脈.在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程， 在初步運用中逐步理解概念的本質”. 數學概念內涵與外延的理解需要通過解題來完成， 解題之后留給學生的應是概念而不是題.

反思5：要重視培養數學的閱讀能力.華南師范大學數學系劉秀湘教授在評述2017 年全國卷試題時，認為2017年數學卷加強了數學閱讀與表達能力， 學生的答卷反映出“ 哪里不會考哪里！”， 特別是2017年理科第 19 題的解答非常不理想. 實際上，2018年的理科概率題一樣對考生閱讀題意的能力要求很高.從實際教學來看， 中學數學教學對數學語言的表達、數學符號書寫的規范性強調較多， 但對數學的閱讀強調不足.

責任編輯 徐國堅