圖形數探秘

李 紅

數學的發展離不開數，我們對于數學最初、最直觀的認識就是數字.古希臘數學家畢達哥拉斯認為“萬物皆數”（由于歷史條件的限制，這里的數當時是指有理數），畢達哥拉斯學派研究數時，喜歡用沙灘上的小石子擺成不同的幾何圖形，于是就產生了一系列的圖形數.

圖1

圖2

畢達哥拉斯發現，當小石子的數目是1，3，6，10，15，…時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做“三角形數”（如圖1）；當小石子的數目是1，4，9，16，25，…時，都能擺成正方形，這些數叫做“正方形數”（如圖2）.以此類推，還有長方形數、梯形數、五邊形數、六邊形數等等.

仔細觀察上面的圖形，不難發現圖形數有著很多有趣的規律：

三角形數是從1開始的一些連續自然數的和，如

正方形數是自然數n的平方n2，如

任意兩個相鄰的三角形數之和都是正方形數，如

古希臘人不僅研究了把點排列在平面上的圖形數，而且將其升級到了空間.如果把三角形數1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…“一層一層摞起來”，就可以形成“三棱錐數”1，4，10，20，35，56，84，120，…（如圖3）；同樣，如果把正方形數1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…“一層一層摞起來”，就可以形成“四棱錐數”1，5，14，30，55，91，140，204，…（如圖3）.其中已經體現出我們數列學習中的“數列求和”的韻味了.

圖3

圖4

圖形數把抽象的數與直觀的圖形巧妙地聯系起來，真是集數形寵愛于一身呀！利用這個特點可以推出許多重要公式.把1，4，9，16，25這5個連續的正方形數稍加變形，排成如圖5的“摩天樓形數”.如果在它的兩側各加上同樣的5個連續的正方形數，就會得到一個如圖6的“長方形數”.

圖5

圖6

推而廣之，就得到n個連續平方數的和的公式：.

圖形數用其生動直觀的圖形，替代了煩瑣的計算，演繹出許多重要公式，真是不可思議！我國古代著名數學家楊輝也曾用獨特的“中國式圖形數”方法得出了這個公式.下面，就讓我們重溫一下他的方法：

取3份12，22，32，…，n2個小立方體，分別把它們組成A，B，C三個階梯狀的四角錐形，再把它們拼成如D的模樣（如圖7，以n＝4為例）：

圖7

然后，把最上面突出的一層小立方體，從水平方向一半的位置橫切一刀，則每個突出的小立方體都被一分為二，再凹凸相對合在一起，正好鋪滿層，于是得到一個長方體.這個長方體長n+1、寬n，而高等于，體積是

因為這個立方體是由3份12，22，32，…，n2個小立方體拼成的，所以，于是得到連續平方數的和的公式：12+22+32+…+n2＝.這與古希臘人用圖形數法得到的公式是一致的.楊輝所用的方法，更直觀、更容易理解，真稱得上是精彩絕倫！

我們用數形結合與合情推理的方法，妙趣橫生地得到了重要的公式，小伙伴們是不是“驚艷”于圖形數的神奇呢？圖形數的魅力，妙不可言！