指向數(shù)學建模素養(yǎng)的《有理數(shù)乘法（1）》教學

孫丹青

摘 要：本節(jié)內(nèi)容選自浙教版七年級上第二章第三節(jié)第一課時，是七年級學生在學習了有理數(shù)的加法與減法的基礎上，對有理數(shù)運算的進一步深化，同時又為有理數(shù)的除法的學習奠定了基礎。本節(jié)內(nèi)容的目標不僅僅是使學生在熟記乘法法則的基礎上會熟練地進行有理數(shù)的乘法運算，更應側(cè)重為使學生經(jīng)歷探索有理數(shù)乘法法則運算律的過程，這既是本節(jié)課的重點，同時又是一個具有探索性和挑戰(zhàn)性的問題，因此，為了有效落實教學目標，本節(jié)課設計了“學生騎行”問題情境，引導學生從情境中初步掌握有理數(shù)乘法法則的關鍵所在——符號的確定，并自主歸納出有理數(shù)乘法基本模型，對有理數(shù)相乘法則的探究過程中，運用了分類的數(shù)學思想和方法，體現(xiàn)了數(shù)學建模的過程和數(shù)學與生活的密切關系，兼顧思想、方法和趣味。

關鍵詞：數(shù)學模型；問題情境；有理數(shù)乘法

【教學目標】

1.回顧小學所學數(shù)的乘法，經(jīng)歷乘法法則的發(fā)生過程，掌握有理數(shù)的乘法法則，并正確地進行乘法運算。

2.理解幾個有理數(shù)相乘，積的符號如何確定。理解有理數(shù)的倒數(shù)定義。

3.經(jīng)歷兩個有理數(shù)相乘法則的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生學會將實際問題抽象出數(shù)學對象，建立數(shù)學模型，激發(fā)學生的原創(chuàng)性與實踐性；初步經(jīng)歷“分析實際問題—建立數(shù)學模型—得出數(shù)學結(jié)果—把結(jié)果帶入實際問題檢驗—用實際數(shù)據(jù)檢驗模型的合理性”的建模過程。

【教學過程】

環(huán)節(jié)一：知識回顧，引入新課

【設計】

1.回顧小學乘法運算法則并引導學生回顧有理數(shù)的分類：正數(shù)、負數(shù)、0。

2.引導學生說出兩個有理數(shù)相乘的所有情形：正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×負數(shù)，負數(shù)×正數(shù)，負數(shù)×負數(shù)，0×正數(shù)，0×負數(shù)。

3.提出問題，引出課題。

師生活動：教師引導提出問題，學生獨立思考并口述，順利引出課題。

（設計意圖：從熟知的正數(shù)×正數(shù)的乘法運算到乘法的各種情形運算，激活學生原有的知識結(jié)構(gòu)或經(jīng)驗，為下一步進行有意義的學習做好鋪墊；在自然狀態(tài)下遭遇困難，學生會自發(fā)地產(chǎn)生疑問，進而渴望尋求新方法。既降低思維難度，又培養(yǎng)了學生思維的嚴謹性，同時潛移默化地使學生體會數(shù)學知識螺旋式上升的編排。）

環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設情境，初現(xiàn)模型

【設計】

情境引入：已知小紅同學在這條東西走向的金惠路上以300米/分的速度騎行，早晨7時恰好到達學校正門口。

【問題1】：2分鐘后，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？如果規(guī)定向東為正，學校正門為原點，如何在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過程？

【問題2】：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

情境變化：此時小明同學正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時也恰好到達學校正門口。

【問題3】：2分鐘后，小明在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

師整理板書，提出問題4

（設計意圖：以情境問題為導引，由問題特殊性過渡到一般性的探討，培養(yǎng)學生數(shù)學模型意識，學生可以深刻感受生活中的數(shù)學問題。通過列不同的乘法算式，對乘法的概念認識會逐漸清晰，直至在學生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。問題串形式一步步地引導學生，進一步激發(fā)學生的學習熱情，啟發(fā)學生用類比的方法探索，順利完成從舊知到新知的遷移。）

【現(xiàn)場】

（PPT動畫展示）已知小紅同學在這條東西走向的金惠路上以300米/分速度騎行，早晨7時恰好到達學校正門口。

問題1：2分鐘后，她在什么位置？

生2：2分鐘后，她在距離學校正門東側(cè)600米處。

師：若規(guī)定向東為正，學校正門為原點，你能在數(shù)軸上表示此時的位置嗎？可以用怎樣的算式表示呢？

生3：（上臺板演）

300×2=600

師：很好，請問此時小紅朝的哪個方向？

生3：向東。

師：如何在數(shù)軸上體現(xiàn)呢？如何體現(xiàn)300乘以2的過程呢？

生4：（上臺板演并解釋）為了表示向東行駛，我用向右的箭頭表示。

問題2：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

生5：2分鐘前，她應該在-600處，即學校門口西邊的600米。算式為（-300）×2=-600。

師：請問這里的-300代表什么意義？

生5：-300代表向西300米。

師：請問2分鐘前，小紅是朝哪個方向騎行呢？

生5：向西。哦，不，好像也是向東。

師：同學們，你們還認同這位同學列的算式嗎？

生6：老師，我覺得算式應該為300×（-2）=-600。

師：請你解釋一下你的算式中300以及-2的實際意義。

生6：因為此時小紅還是向東行駛的，所以300應該是正數(shù)，也就是說300代表的每分鐘向東行駛300米，-2代表了2分鐘前，因為剛才2分鐘后，我們用2表示了，所以現(xiàn)在2分鐘前就要用-2表示了。

師：你的想法非常好，你能在數(shù)軸上體現(xiàn)這個算式嗎？

生6（上臺板演）

師：你們同意他的畫法嗎？

生7：我認為箭頭應該向右，因為還是向右行駛的。

師修改生6的板書：

300×（-2）=-600

情境變化：此時小明同學正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時也恰好到達學校正門口。

問題3：2分鐘后，小明在什么位置？

生8：小明在學校正門西邊600米處，即-600。

師追問：很好，如何用算式表示？

生8：2×（-300）=-600

師：請你解釋這里的2與-300的實際意義。

生8：因為還是規(guī)定向東為正，那么現(xiàn)在小明向西行，所以應該是-300，根據(jù)之前的規(guī)定，2分鐘后應該為正，所以就是+2.

師肯定了這位學生的表達，再次追問：誰能在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過程？

生9（上臺板演）

環(huán)節(jié)三：合作交流，完善模型

【設計】

1.合作交流：你能求（-300）×（-2）的結(jié)果，并用實例解釋此算式的意義嗎？

2.用實例說明0×負數(shù)仍是0。

3.引導學生用自己的語言描述兩個有理數(shù)相乘的法則，教師做適當補充。

師生活動：問題4由學生小組交流共同完成，教師鼓勵小組代表上臺匯報解決問題的方法、步驟、結(jié)果等，教師做適當補充，師生共同得出問題4的結(jié)論。然后引導學生利用已建立的模型解釋0×負數(shù)仍得0的結(jié)論。再由學生觀察，通過特例的歸納，鼓勵學生自己總結(jié)有理數(shù)乘法法則。并用自己的語言加以描述，教師完善板書。

（設計意圖：初步體驗小組合作建立合適數(shù)學模型來解決問題的過程，激發(fā)學生的原創(chuàng)性與實踐性。小組內(nèi)每位同學都能參與到數(shù)學建模的環(huán)節(jié)中，通過類比、分析、猜想、合作的數(shù)學建模歷程得出負負得正的合理性。緊接著利用小組以建立好的數(shù)學模型進行大展示，鍛煉學生的語言組織能力和表達能力。問題4的難度設置要大于個人能力，小于合作能力，因此小組間學生的思維有了碰撞，使他們解決問題的思維過程暴露出來。并在展示思維成果的過程中，深化對負負得正的理解，進一步提高了學生的數(shù)學素養(yǎng)）

問題4：你能求（-300）×（-2）的結(jié)果，并用實例解釋此算式的意義嗎？

此問題是以小組交流的形式展開，讓學生繪制在事先準備好的白紙上，5分鐘后，以小組為單位展示交流成果。

小組1： 小組2：

生9：以上是我們小組的討論結(jié)果，其中-2代表2分鐘前，

-300表示向西行駛，那么這個算式的實際意義就是小明向西行駛，2分鐘前位于學校正門東門600米處，即（-300）×（-2）=600。

生展示完后，師補充板書：（+2）×（+300）=+600

（-2）×（-300）=+600

（-2）×（+300）=-600

（+2）×（-300）=-600

師：同學們，兩個有理數(shù)相乘除了以上四種情況，還有嗎？

生10：還有0。

生11： 0乘以任何數(shù)都得0。

師：為什么？

生11：小學里學過。

師：小學里我們只學了0與正數(shù)相乘，那0與負數(shù)相乘還成立嗎？比如0 ×（-300），你能用合適的生活情境解釋下嗎？

生12：老師，我們不妨用剛才的問題解釋，0代表的就是0分鐘后，-300代表每分鐘向西行300米，那么0分鐘后還是在原地，就是0。

師：這位同學解釋得非常好，數(shù)學問題從生活中來，又回到生活中去。接下來，請同學們觀察以上五個等式的左右兩邊，符號有什么規(guī)律？絕對值又有什么規(guī)律？

環(huán)節(jié)四：指導應用，深化理解

【設計】

1.口答：判斷下列各式的符號，并說明理由。

（1）（+12）×（-5）

（2）（-3.5）×2

（3）（+3）×（+■）

（4）（-1■）×（-■）

（5）（-5）+（-3）

2.通過（3）與（4）的結(jié)果引出有關倒數(shù)的定義。

3.例1 計算：

（1）（-1■）×（+■） （2）（+0.75）×（-16）

（3）0 ×（-9.5） （4）（-2.5）×（-■）

師生活動：首先，教師出示題組1，要求學生在規(guī)定的時間內(nèi)完成，并組織學生以口答的形式馬上進行反饋；接著引導學生類比小學對倒數(shù)的理解，完善倒數(shù)的定義。而后教師出示題組3，板演解題步驟，規(guī)范解法。鼓勵學生做題后小結(jié)：兩個有理數(shù)相乘的基本步驟。

4.當堂練習1：

（1）（-1.5）×（-■） （2）（■）×（-■）

（3）（-2）×（-0.5） （4）（-■）×（-■）×（-2）

由（4）小題提出計算兩個以上的有理數(shù)相乘時如何確定積的符號。

師生活動：教師出題組4，學生獨立完成，教師巡視，尋找典型問題，引出多個有理數(shù)相乘的法則。

（設計意圖：題組一從基礎出發(fā)，讓學生能初步體驗成功，用學到的知識和經(jīng)驗選擇適當?shù)姆▌t進行判斷，側(cè)重于考查法則的掌握度。題組三強化學生對法則運用的熟練度，側(cè)重于培養(yǎng)學生從具體練習中觀察、辨析的能力。題組4（4）在練習反饋環(huán)節(jié)中利用“小展示”的設置，一方面是給學生創(chuàng)設表達、展示的“舞臺”，另一方面也是課堂重要典型的一些體現(xiàn)，這些體現(xiàn)來源于教師在巡視過程中的發(fā)現(xiàn)和整理，通過三位同學的不同解法，達到了思維碰撞，為提出多個有理數(shù)相乘法則做鋪墊。）

環(huán)節(jié)五：再探新知，類比深化

【設計】

1.判斷下列各式的符號

（-1）×2

（-1）×2×3 （-1）×2×3

（-1）×2×3×4 （-1）×2×（-3）×4

（-1）×2×3×4×5… （-1）×2×（-3）×4×（-5）…

由學生歸納，教師適當補充：

多個不為零的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定。

負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則積為負；

負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則積為正；

（-1）×（-2）×（-3）×（-4）×0=0

幾個有理數(shù)相乘，當有一個因數(shù)為0時，積為0

2.當堂練習2

計算：（1）（-4）×5×（-0.5）； （2）（-5）×0×■；

（3）（-6）×（-■）×（-4）； （4）|-1.25|×（-8）×4

（設計意圖：通過鞏固性練習，學生在反思總結(jié)的過程中實現(xiàn)了對多個有理數(shù)相乘的有關知識的深刻建構(gòu)。）

環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)，反思提高

【設計】

通過本課的探討學習，你獲得了哪些新的知識，你認為有哪些方面的進步？

（設計意圖：讓學生進行小結(jié)，經(jīng)過學生個人回顧—同桌交流—給大家說說的過程，總結(jié)本節(jié)課的所做、所聽、所感，讓知識系統(tǒng)化、合理化。重視學生之間的相互補充，訓練學生的歸納和表述能力，提高學生學習的積極性和主動性。）

【課后反思】

1.本節(jié)課設置了豐富的問題情境，讓學生體會到了有理數(shù)乘法法則的發(fā)生、發(fā)展過程，內(nèi)容的選擇和呈現(xiàn)都關注了現(xiàn)實意義和學生的興趣，學生經(jīng)歷了有理數(shù)乘法法則的過程，模型化的味道較濃，也符合課標對數(shù)學建模教學的要求。

2.環(huán)節(jié)2與環(huán)節(jié)3的情境中通過諸多問題引導，學生可以深刻感受生活中的數(shù)學問題。通過列不同的乘法算式，對乘法的概念認識會逐漸清晰，直至在學生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，加之后期的應用鞏固，用模型去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義，“有理數(shù)乘法”建模的教學可以較好地完成。

3.環(huán)節(jié)1中“知識回顧”的內(nèi)容是學生有關“小學乘法運算”知識的儲備，屬于學生的“最近發(fā)展區(qū)”。學生對這些內(nèi)容是熟悉的，但并不明晰，將這些內(nèi)容先進行回顧梳理，是為本節(jié)課的教學奠定基礎，也可以認為這也是進行“有理數(shù)乘法”模型的自然滲透。

4.環(huán)節(jié)3中的小組交流的創(chuàng)設有利于加深學生對“負負得正”數(shù)學本質(zhì)的認識，數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，生活問題可以用“數(shù)學表達式”表示，反之，“數(shù)學表達式”也可以賦予有意義的生活背景。同時本環(huán)節(jié)的交流部分，學生分工合作，小組內(nèi)每位同學都能參與到數(shù)學建模的環(huán)節(jié)中。通過類比、分析、猜想、合作的數(shù)學建模歷程得出負負得正的合理性。緊接著利用小組已建立好的數(shù)學模型進行大展示，鍛煉學生的語言組織能力和表達能力。

5.本節(jié)課努力將學生的自我評價、同伴評價、教師評價結(jié)合在一起，從更全面的角度看待學生。

總之，這節(jié)課是以素養(yǎng)立意的課時：用數(shù)學的眼光觀察生活，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)；用數(shù)學的思維分析生活問題，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；用數(shù)學的語言表達生活問題，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)。學習知識真正的目的是能運用于生活，能在看不到數(shù)學的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學應用的價值，才是學生數(shù)學建模素養(yǎng)的真正形成，教學要不斷引入開放性的實際問題，鼓勵學生積極思考，讓學生從實際問題的解決中獲得素養(yǎng)的提升。

參考文獻：

[1]趙小云.基于有效教學的數(shù)學課堂情境設計：以“有理數(shù)的乘法”為例[J].中學數(shù)學研究，2016（10）.

[2]劉海燕.初中數(shù)學建模思想初探[J].現(xiàn)代教育科學，2011（2）.

編輯 郭小琴