緊扣基本方法 打破初中幾何復習課的“怪圈”

李美靜

初中階段，幾何一直是學生掌握的薄弱環節.“課上明白，課后見題死”的怪圈導致學生在心理上害怕研究幾何問題，對幾何學習有畏難情緒，遇到陌生問題就束手無策.加之復習課多以知識點回顧和習題講解為主，往往是老師講臺上滔滔不絕，學生課桌上昏昏欲睡.老師費盡心思，學生受盡折磨，卻毫無效果.如何打破“怪圈”，做好幾何復習課的有效教學是我們面臨的一個重要問題.

下面以人教版九年級上冊“直線和圓的位置關系”的階段性復習課的教學片段為例，進行分析探討.本節課已經在兩個班進行過復習教學嘗試，學生反映良好.這節課的主要特點是：緊扣判斷直線與圓位置關系的基本方法，一法多題，題組遞進.

1小題點睛，小坑怡情

例1已知⊙O的半徑為2，直線L上有一點P滿足PO=2，則直線L與⊙O的位置關系是（ ）

A.相切

B.相離

C.相離或相切

D.相切或相交

生l：相切關系，因為直線L與圓有一個交點.

師：這樣分析準確嗎？

生2：不準確！“有一點”，不是有且只有一點，還可能有兩個交點.漏掉了相交的位置關系，當直線L與圓相交P為交點時，滿足PO=2，所以選D.

師：對！利用直線和圓公共點的個數可以判定兩者的位置關系，還有其他方法嗎？

生3：我是通過圓心到直線的距離和半徑的數量關系來判定兩者的位置關系的……

師：很好！我們得到判定直線和圓位置關系的兩種方法.

變式 已知⊙O的半徑為2，直線L上有一點P滿足PO=2，則圓心O到直線L的距離d（d取整數）的值為___.

生4：當相切時，則d=r=2;當相交時，則d

師：分析思路很好，根據位置關系進行分類討論，但“d>0”準確嗎？

生5：不準確，當直線過圓心與圓相交時，d可以取零.

師：所以d的值為0、l或2.我們發現已知位置關系，d，r中任意兩個能確定第三個的情況.

設計意圖 單純知識點的梳理使課堂枯燥無味，利用小題重溫知識點可以克服這種弊端.在題目中設計小陷阱，考驗學生對知識點的掌握程度和數學嚴謹性.錯因分析，加深學生對定理、性質的掌握，防止再犯類似的錯誤.注意教學過程中滲透分類數學思想方法.

2例題變式，思維拓展

例2如圖l，△ABC為等腰三角形，底邊AB經過⊙O上的點c，點C是底邊AB的中點，求證：AB是⊙O的切線.

生6：連接OC，知OC為半徑，由SSS證△AOC≌△BOC，得∠AOC=∠BOC=90°，即Oc⊥AB，因而AB是⊙O的切線.

師：有沒有更簡單的證明方法？

生7：△ABC為等腰三角形，c為底邊中點，由三線合一得Oc⊥AB，則AB是⊙O的切線.

師：很好！要求大家能利用等腰三角形三線合一性質便捷地解決問題.

變式1如圖2，△ABC為等腰三角形，點O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切于點D，求證：Ac與⊙O相切.

生8：作OE⊥AC于點E，OE是半徑，Ac就是切線了！咦，好像哪里不對.

生9：點E在Ac上沒有在圓上呀，不能說是切線.哦，可以證明點E在圓上！連接OD，由切線的性質，知OD上AB.證△DOB≌△EOC……

師：可以，但證明方法不夠完美，誰能給出更好的證明方法？

生9：哦，我知道了！△ABC是等腰三角形，連接OA，OA是中線也是角平分線，直接就有點O到角兩邊的距離相等，即OE=OD，因而Ac是⊙O的切線.

師：很好，方法的選擇也是能力的考查.誰能將這兩種證切線的方法進行簡單的歸納？

生9：當沒有給出直線和圓的交點時，可通過作垂直，證垂線段等于半徑來解決.

師：簡記為“無交點，作垂直，證半徑”.誰能給出例2題型的口訣？

生10：“有交點，連半徑，證垂直”.

設計意圖不搞“題海戰術”，將課本例題進行變式，培養學生思維的深刻性和靈活性.注重探索解題規律，做到聞一知十，增強學生應用知識能力和應變能力.重視題目講解后的小結，培養學生解題后反思和總結的習慣.

3提煉基圖，強化能力

師：由這兩題我們得到了證明切線的重要口訣，還收獲了什么？

生11：出現等腰三角形時要考慮利用它的性質來解題.

師：很好，我們將等腰三角形的三線合一作為基本圖形提煉出來，如圖3.在一些較復雜的題目中要會辨認出或者構造出這些基本圖形，選擇有效的信息和結論，迅速的找到證明思路和證明方法.

變式2如圖4，△ABC為等腰三角形，內接于大圓O，小圓O與腰AB相切于點D，求證：Ac是小圓O的切線.

生12：跟上題解法同，連接OD，得OD⊥AB，再作OE⊥Ac于點E，但好像證不出，沒有辦法利用三線合一.

師：題目中還有什么條件沒有用？

生12： △ABC內接于大圓O！連接AO，BO，CO，有AO=BO=CO.

師：可以用三線合一嗎？

生12：可以.△AOB為等腰三角形，OD是高線也是中線，則AD=1/2AB.同理AE=1/2Ac，又AB=AC，得AD=AE.由HL證Rt△DOA≌Rt△EOA，得OE=OD，因而AC是小圓O的切線.

師：很好，要懂得發現隱藏的條件，構造基本圖形，應用它來解決問題.

變式3已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.

（l）如圖5，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出三種情況）：①___ ;②___ ;③___.

（2）如圖6，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線.

（3）如圖7，AB是非直徑弦，∠CAE=∠ABC，EF還是⊙O的切線嗎？請說明理由.

師：看圖6，如何證EF是⊙O的切線？

生13：作直徑AD，連接CD，構造直角三角形，由圓周角定理得∠D=∠B，然后類比（l）求出∠CAE+∠CMA=90°，即OA⊥EF，則EF是⊙O的切線.

師：你是怎么想到的？

生13：我先是連OA，但是證不出，然后就嘗試延長OA作直徑仿照圖5構造直角三角形.

師：很好，學會利用題設或者問題結論解決問題，繼續思考（3）.

生14：作直徑AD，連BD，作直角三角形.由圓周角定理得∠DAC=∠DBC，而∠CAE=∠ABC，∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC=〉∠DAE=∠ABD=90°，即OA⊥EF，則EF是⊙O的切線。

師：對！看來大家已經有了構造直角三角形的意識，我們將在圓內連直徑構造直角三角形做為基本圖形提煉出來，直角三角形有很多特殊的性質（勾股定理、30°角與邊的關系、斜邊中線等于斜邊一半、銳角三角函數等）為解決問題提供了很多便利條件.

設計意圖 課標對學生幾何部分的要求是“能從復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”.熟悉和運用基本圖形的性質為學習和解決幾何問題開啟了一扇便捷之門.當然基本圖形的應用并不是一成不變的，需要我們靈活掌握，才能得心應手.

4課后訓練，模擬中考

練習△ABC是⊙O的內接三角形，Bc=√3.

（1）如圖8，若AC是⊙O的直徑，∠BAC=60°，延長BA到點o，使得DA=1/2BA，過點D作直線ι⊥BD，垂足為點D，請將圖形補充完整，判斷直線L和⊙O的位置關系并說明理由.

（2）如圖9，∠B=120°，點D是優弧AC的中點，DE∥BC交BA延長線于點E，BE=2，請將圖形補充完整并求AB的值.

設計意圖 讓學生感受中考題型，做到心里有底，本題綜合性較強，考查直線與圓的位置關系、圖形中位線的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識.同時需要學生構造圖形中位線和全等三角形來解決問題，講評時要注意化歸思想的滲透.中考題每日一練，磨煉心態，增強自信.

復習課意在深化學生對已學知識的理解與記憶，彌補知識缺漏，將已學知識系統化、規律化，使學生的數學能力、思想感悟和經驗積累達到一定高度.在這個過程切忌本末倒置，學生不僅是“聽”和“寫”的主體，更是“講”和“思”的主體，而教師是這一過程的引導者.當學生深入參與其中，樂在其中時，整堂課的目的就達到了.

以上是筆者在教學中的一種嘗試，意在打破幾何復習課的低效怪圈.當然，教無定法，復習課的教學設計并不局限以上幾個環節，我們還需要不斷地總結完善.希望我們每一位教師都能不斷更新自己，無愧于三尺講臺.