“重復”有何奧妙？

【摘要】基本數學思想是一節課的靈魂，也是課堂中的隱形線索。課堂中通過現實到數學的抽象，從現實世界到數學內部把研究對象以及對象之間的關系形成概念，使其具有一般性進而發展數學思維。

【關鍵詞】規律;符號化;數學思想

《數學課程標準（實驗稿）》中提出：一些重要的數學概念與數學思想宜逐步深入。基本數學思想是一節課的靈魂，也是課堂中的隱形線索。一節課往往蘊含多個數學思想，每一節課都離不開抽象、推理、建模這幾個最基本的。本課凸顯抽象思想派生出來的“符號化”及“變與不變”的數學思想，主要幫助孩子感悟“符號”的簡潔及“變與不變”的互相轉化。

一、初識規律，妙在“符號化”

符號，一般是某種事物的代號，采用對應的方式，把一個復雜的事物用簡便的形式表現出來。“符號化”思想就是用一種符號代替原物進行表示、交流、運算等活動的思想。數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學是人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具。 “符號化”思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

（一）【課堂片段一】初步感受符號表示規律

師：你能把燈籠的規律用自己喜歡的方式表示出來嗎？比一比，看誰又快又好！

（學生獨立思考，自主展示作品，分享創作。）

生1：大小大小大小大小" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "文字

生2：○。○。○。○。（比文字簡潔，比畫燈籠快。）" " " " 圖形

生3：○△○△○△○△（你看懂了嗎？○代表大燈籠，△代表小燈籠。）" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 圖形

生4：√×√×√×√×（√表示什么？×又表示什么？說給同桌聽。）" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "符號

生5：12121212（這是用什么形式表示燈籠的規律？）" " " 數字

生6：ABABABAB（這是用什么形式表示燈籠的規律？） 字母

師：這些方式都看懂了嗎？你最喜歡哪種？為什么？

小結：用圖形、符號、數字、字母等形式來表示燈籠的排列規律，更簡潔清晰。

【基于數學思想評析】“符號化”思想主要體現在初識規律的教學環節，讓孩子用自己的方式表示燈籠的規律的形式。集中交流時，孩子們出現文字、圖形、符號、數字、字母等形式。文字“大小大小”的形式最容易理解，就是將口頭表述的語言用簡化的形式書寫下來。其次是“○。○。”，也是直觀形象的方式，就是把燈籠簡化成圓圈表示，都屬于具體形象思維的形式。此處，教師不必過多解讀。真正能夠體現“符號化”思想的表達方式從“生3”開始，這是關鍵的方法。出示“○△○△”后，引導學生“你看懂了嗎？”明確“○代表大燈籠，△代表小燈籠”，用“對應”的方法初識規律，初步滲透“符號化”思想，幫助孩子們將燈籠抽象成簡潔的數學圖形，基本實現從具體形象思維到抽象思維的過渡。隨后生4、生5、生6的方法都是在生3的方法的基礎上換成符號、數字、字母等形式來表示，在思維水平上沒有太大的提升，屬于鞏固運用看懂不同符號的層次。整個教學環節主要引導孩子看懂別人的表達方式，感受文字比畫燈籠方便，圖形及符號等又比文字更簡潔。

（二）【課堂片段二】引入省略號

師：如果有10組、100組燈籠，我們還這樣一直畫下去嗎？想一想，怎樣表示更方便？

生：省略號……表示一直重復下去。

師：在這里，“……”省略了什么？

生：表示后面還有許多許多這樣的一組一組。

介紹省略號：燈籠的排列規律可以一直重復下去，我們在畫圖表示時，一般只要完整地畫出兩組，后面的就可以用省略號代替。

【基于數學思想評析】當孩子們用各種符號表達出規律后，引導思考：如果有許多組燈籠一直重復下去，我們也一直畫下去嗎？孩子們經過思考，發現可以用語文課學過的省略號表示，溝通了學科間的聯系，再次感受到“符號化”的奧妙。這里的省略號有兩層含義：一是后面還有許多這樣的排列，二是所有的排列都是按照之前的規律重復下去，既可以表示有限重復，也能表示無限重復，內涵十分豐富，再次體會符號的神通廣大。

（三）【課堂片段三】對比燈籠和小朋友的規律

師：請用我們剛才學習的方法快速表示出小朋友的排列規律。

師：對比兩個規律，你發現什么了？想說什么？

生：它們是一樣的。

師：你同意嗎？一起來感受一下。先看“○△○△……”，如果○代表大燈籠，△就代表小燈籠;如果○代表女生，△就代表男生;“○△○△……”既可以代表燈籠這樣一大一小的兩個一組，又可以代表小朋友一女一男的兩人一組。

師：想象一下，它還可以表示什么樣的兩個一組？

生舉例……

師：只要是兩個一組的都可以這樣表示。

【基于數學思想評析】在孩子們用學會的方式表達小朋友的排列規律后，對比發現：用“○△○△”不僅可以代表燈籠這樣的一大一小的兩個一組，也可以表示小朋友一女一男的兩個一組，再次感受符號的強大作用。之后引導孩子推廣開去：還可以表示怎樣的兩個一組？讓孩子們在創作規律中再次感受符號的廣泛代表性。

二、解讀規律，妙在“變與不變”

數學作為一門科學，自然同其他自然科學一樣，有其內在的規律。“形而上為道，形而下為器。”而數學介于“道”與“器”之間的“形”，是最接近哲學的，數學連接著“道”和“器”，是抽象的存在，是從“器”走向“道”的必經之路，通過對“器”的認識達到“道”。中外數學家都在尋找世界的“不變”和實現“變中的不變”。以“不變”為基礎進行數學活動，在“變化”的數學世界中找到“不變”，這樣的循環往復推動著數學的發展。運用“變中抓不變”的思想方法，有利于解決錯綜復雜的問題，能透過現象看本質，根據局部把握全局等等。

【基于數學思想評析】本課中前面三個教學片段綜合體現了“變中找不變”的數學思想，恰好解釋了《“重復”的奧妙》妙在哪里？具體體現在：（1）用不同的方法表示燈籠的排列的規律，方式不同，規律相同，如用文字、圖形、符號、數字、字母等不同形式表示相同的規律;（2）燈籠和小朋友是不同事物，而有相同的排列規律。

（一）【課堂片段四】感受其他排列規律

出示：“112112……”這是幾個一組的？它表示什么物品的排列規律？

生：小旗。

師：真是這樣嗎？我們來驗證一下，如果1代表紅色小旗，2就代表——藍色小旗。如果1代表四角形的小旗，2就代表——三角形的小旗。

師：它還可以代表誰的排列規律？

生：氣球。

師：同意嗎？一起看一下。

對比：“112112……”既可以表示小旗形狀的規律，也可以表示小旗顏色的規律，既是小旗的排列規律，也是氣球的排列規律。

【基于數學思想評析】同一組事物，同樣的規律，可以從不同角度解釋規律。如小旗的規律，可以從顏色角度表達，也可以從形狀的角度描述，體現了“變”與“不變”的融合。

（二）【課堂片段五】

師：通過剛才的學習，我們對規律有了全新的認識。那么不同的規律有什么共同點？

生：它們都是有規律地重復出現的。

師：它們又是怎樣重復的？你能把圖中的規律再繼續往下說一說嗎？

（1）燈籠圖：燈籠是按照“大小大小”兩個一組的規律一直重復的。

如果要再掛一組燈籠，應該怎樣掛？掛下一盞呢？再下一盞呢？

（2）小旗圖：小旗是按照“紅紅藍紅紅藍”三個一組的規律一直重復的。

考考你：第3面、第5面、第10面、第15面……怎么能又快又準地判斷？

師：第26面小旗是什么顏色的？在作業單上圈一圈，算一算吧！

生：26÷3=8（組）……2（面）

8表示有這樣完整的8組，2表示還剩2面，就是規律中的第2面，紅色。

師：也就是說，要判斷第26面小旗的顏色，我們只要看余數就可以了，無論重復完整的幾組，只要余數是相同的，小旗的顏色就是相同的。

“數學的本質是數學思想，數學的動力是數學人文，數學的基點是數學意識。”“符號化”的思想及“變中不變”的思想都是由“數學抽象的思想”派生出來的。數學教學的責任是會抽象，會推理，課堂中通過現實到數學的抽象，從現實世界到數學內部把研究對象以及對象之間的關系形成概念，使其具有一般性，進而發展數學思維。

【參考文獻】

[1]楊慶余.小學數學課程與教學[M].北京：高等教育出版社，2004：102.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2011.