一道中考題引發(fā)的教學思考

摘要：在數(shù)學中考中，大部分同學對綜合題的解決存在不同程度的困難。因為數(shù)學綜合題的考察，不僅考查學生對基本知識的掌握，還要考查學生綜合應用各種知識解決問題的能力。所以綜合題的教學不應該是對題目單純的講解，更需要教師的精心設(shè)計，來達到學生能夠舉一反三，融匯貫通的地步。

關(guān)鍵詞：綜合應用 變式訓練 解題能力 思維拓展

對于數(shù)學這門學科的學習，很多考生為了取得高分陷入題海戰(zhàn)術(shù)而無法自拔，但很多時候卻事倍功半，收效甚微.所以，對于如何提高學生做題的效率，減輕學生的負擔，是我們廣大數(shù)學教師應該探討的問題。下面筆者將從一道中考題的變式教學出發(fā)，談談在數(shù)學課堂教學中應如何開展變式教學，使學生免于大量重復的做題，達到做一題，通一類題的效果，同時提高學生的解題能力，拓展學生的思維深度和廣度。

考題摘錄：（2015.泰安）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（-6，0），與y軸的交點為C（0，3），且經(jīng)過點G（-2，3）。

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是線段OA上一動點，過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，設(shè)△CDQ的面積為S，求S的最大值；

（3）若點B是拋物線與x軸的另一交點，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上，∠DCB = ∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標.

本題題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及等腰三角形、線段垂直平分線及二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，平行的判定，三角形中位線等較多知識點，綜合性很強，有一定的難度。

在該題的教學中，問題（1）比較基礎(chǔ)，絕大部分同學都能夠自行解決，所以可請學生講述。學生一般直接利用待定系數(shù)法，把A、C、G三點坐標代入求得拋物線解析式完成后，教師可以進一步挖掘題目，引導學生發(fā)現(xiàn)C（0，3）與G（-2，3）是對稱點，求出對稱軸X=-1，從而設(shè)出頂點式求解；或者求出A（-6，0）關(guān)于X=-1的對稱點是（4，0），從而設(shè)出兩點式求解。完成題目的同時，讓學生復習了一下拋物線解析式的幾種設(shè)法，并回顧了拋物線的幾個基本知識點，如頂點，與坐標軸的交點，對稱軸等。問題（2）的教學仍然以學生講解為主，但講解后，教師需引導學生歸納出由動點問題產(chǎn)生的線段長的一般表示方法，學會設(shè)點的坐標來表示。問題（3）的解決需引導學生積極發(fā)現(xiàn)其中的基本圖形，如由線段垂直平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形DNM或CNM，由等腰三角形和角平分線發(fā)現(xiàn)DN平行BC，找出A型相似圖或直接發(fā)現(xiàn)三角形的中位線NM，從而順利突破本題難點。

上課講到這里，僅僅是完成了對該題的一般解答，如果想要進一步加深學生對該題的掌握程度，開闊學生的眼界，拓寬學生的思路，則需要對題目進行進一步的加工和改造了。作為教師，可以選擇添加變式，達到知識和方法的滲透。如可以添加如下一些變式進行教學：

變式一：在（2）的情況下，延長PQ交拋物線與點E，求EQ的最大值。該變式的教學可以引導學生進一步歸納動點產(chǎn)生的線段求最值問題的解法.

變式二：點P是線段OA上一動點，在拋物線上是否存在點F，使得△APF相似于△AOC該變式的教學可以引導學生構(gòu)造相似三角形，應用對應線段成比例來求點的坐標。

變式三：在線段OA上是否存在點P，使∠PCB為直角。該變式的教學可以引導學生進一步掌握射影定理的基本圖形。當然該題的解法不唯一，有的學生習慣于轉(zhuǎn)化為兩直線PC與BC的垂直關(guān)系來做，或者相似來做都可以，但最直接的方法仍然是應用射影定理來完成。

變式四： 點P是線段OA上一動點，點Q是線段CA上一動點，能否找到這樣的兩點，使得△APQ為直角三角形與△PQC為等腰三角形同時成立。該變式的教學需要引導學生分類討論，而分類討論問題一直是學生的難點。當△APQ為直角三角形時，引導學生要想到分成兩種情況討論：P、Q分別為直角頂點，接著還需分析出每種情況下，各對應一種△PQC為等腰三角形的情況。

當然，對于變式來說，題目是永遠也變不完的，對應不同的知識點，放入不同的背景中，就可以造出許多不同的變式.但對于解題本身來說，很多技巧和思想方法是相通的，如線段與面積最大值問題，分類討論三角形全等或相似問題，四個點構(gòu)成平行四邊形問題等等，方法都是有規(guī)律可循的。一些常見的數(shù)學思想如數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程思想，化歸思想等都是平時的教學中經(jīng)常滲透的。我們作為數(shù)學教師，不能局限于單純知識點的講授或某一問題的解決，而是要著眼于學生能力的提升，應該更加重視數(shù)學思想方法的傳授與點撥，數(shù)學基本圖形的歸類整理.通過一些變式教學，引導學生去模仿、探索和歸納出某些知識的內(nèi)在聯(lián)系，進而提升學生思維遷移能力，為學生知識的獲得和思維的拓展提供廣闊的發(fā)展空間。那么，對于一道綜合題，應該如何設(shè)計變式題呢？筆者認為可以從以下三個思路進行嘗試：

一、添加已知條件

在原有題目的基礎(chǔ)上，選定一個想要考查的知識點，添加相應的條件.如上述中考題的六個變式，基本上結(jié)合了要考查的內(nèi)容而給出了不同的條件.如變式一，考查的仍然是動點問題構(gòu)成的線段的最值問題，不同的點的選擇就會導致不同的題目，如選擇與線段的交點或與拋物線的交點，或者也可選擇特殊點構(gòu)成的線段，如線段的中點、三等分點等。當然，解題的最后，教師要善于引導學生發(fā)現(xiàn)變式中不變的部分，如由動點的坐標表示出線段的長度，歸納出求線段最大值問題，一般與求函數(shù)的最值掛鉤，而求線段的最小值問題，一般又與垂線段最短有關(guān)；求兩條線段的和最短問題又涉及到作對稱點的問題。甚至，教師可以繼續(xù)引導學生思考到線段的變化又會引起圖形面積的變化等等，將思路進一步拓寬.我想，經(jīng)過這樣的變式，學生對線段的最值問題一定記憶深刻。

二、改變圖形位置與形狀

運用多種手段改變圖形的位置，如常見的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等改變圖形的位置；或者由點的運動或線的運動改變圖形的形狀等。如上述中考題，筆者可以繼續(xù)如下變式：將△COD沿X軸向右平移m個單位，用含m的式子表示出它與△COB重疊部分的面積等。值得注意的是教師可以引導學生歸類的是一些求特殊結(jié)論的題目，如一些線段或角的數(shù)量關(guān)系，往往圖形變了，但是圖形的全等或相似的結(jié)論是不變的。這個時候的教學，要突出的是基本圖形的尋找，如K形全等或相似，射影定理基本圖形等。

三、改變題目的陳述

將一些相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容一起呈現(xiàn).例如書本上一道經(jīng)典的變式題：求證：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。變換一：求證：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。變換二：求證：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形.變換三：順次連接什么四邊形各邊中點可以得到平行四邊形？變換四：順次連接什么四邊形各邊中點可以得到菱形？

這道變式題強化了特殊四邊形之間的聯(lián)系，再一次把四邊形的性質(zhì)與判定緊密相連，給學生以質(zhì)的飛躍.

葉圣陶說過這樣一段話：教師當然要教，而尤宜致力于導，導者，多方設(shè)法，使學生自求得之，卒底于不待教師教授之謂也。我想，變式教學，就是通過教師不斷的引導，不斷地深挖，提高學生綜合應用各種知識的能力，讓學生感受到思維的跳躍，碰撞出智慧的火花，享受到學習的快樂。