三角函數的圖形及性質分析

三角函數是研究角度的一類函數，將三角形的內角與邊長比值相關聯，是高中數學學科學習中的難點，也是高考中考查次數比較頻繁的內容。三角函數由于具有很好的性質，可以用于方便的解決三角學問題，在人們的生產生活中的諸多領域得到了廣泛運用。但由于三角函數的性質較多，我們在記憶時非常容易混淆，但借助于三角函數的圖像，其性質就能一目了然的呈現在大家面前，這也是數形結合思想在數學學習過程中的充分體現。為此，本文對三角函數的圖像進行了分析，并結合圖像對三角函數的性質進行探討，以期能夠為同學們的學習提供參考。

高中數學 三角函數 函數圖像 性質特征

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-8877（2018）35-0112-01

1.三角函數的圖像

三角函數是關于角度的函數，是六類基本初等函數之一，在研究三角形和圓等幾何形狀性質時具有十分重要的作用。三角函數通過定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，它主要包含正弦、余弦、正切、余切、正割和余割六個基本函數。在高中數學學習中，重點對前面三個常見函數的圖像、性質及應用進行研究。三角形函數的圖像是以三角形自變量x和因變量y對應的值作為直角坐標中點的橫縱坐標，對不同的取值在坐標系內描出其點的位置，由這些點組成的圖形，就是三角函數的圖像。三角函數的圖像不僅囊括了常見函數所具有的共性，而且還將三角函數所具有的獨特性質直觀形象的表示出來。這樣，我們在分析與解決三角函數問題時，就能依靠圖像來分析其所具有的性質，然后利用數形結合的思想，更為精確的表示三角函數所具有的數量關系。

2.三角函數的性質分析

三角函數的圖像不僅是進一步研究函數性質的基礎，也是解決有關三角函數問題的重要工具，這是一種“數形結合思想”的重要體現。高考大綱中明確指出：高中生應掌握與理解三角函數的周期性、單調性、奇偶性和對稱性，這也是我們學習三角函數過程中的重難點。為此，我們可以首先根據函數表達式，畫出相應的圖形，然后再利用圖形的特性來分析三角函數的性質，這樣就能一目了然，避免了死記硬背。

1.三角函數的周期性

對于給定函數 ，如果存在一個非零常數T，對于定義域內的任意一個 ，都有 ，那么函數 就是周期函數，T就是 的周期。很多同學在分析三角函數的周期時常常會感覺無從入手，但其實只要把握好以下要點，就能準確的尋找到函數的周期。

和 。由圖1正弦函數的圖像可知，正弦曲線在每相隔 個單位后，會重復的出現，我們假設 ，結果發現對于定義中的任意一個 ，都有 ，因此， 是周期函數。 （ ）是正弦函數的周期。類似的，由圖2可知，余弦函數 也為周期函數，其周期為 （ ），兩者的最小正周期為 。

。由圖3可知，對于定義域內的任意一個 ，都存在整數 ，使得 ，因此，正切函數是周期函數，其周期為 ，最小正周期為π。

根據三角函數的周期性，我們在描繪三角函數的圖像時，只需要畫出一個周期就能根據其周期大小，進行拓展與延伸，從而得到函數的整個圖像。

三角函數是后續圓錐曲線及向量等相關知識的學習的鋪墊，準確把握三角函數的圖像及性質，不僅有利于我們高中生更好的理解三角函數的內涵及特性，同時，數與形的結合，也能為我們在求解題目過程中帶來簡便，大大簡化計算復雜度，提高解題正確率。

參考文獻

[1]杜紅全.三角函數的圖像和性質問題歸類解析[J].中學生數理化（高一數學），2018（4）.