ARMA模型擬合甘肅省GDP淺析

火富昌

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

一、引言

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是給定時(shí)期的經(jīng)濟(jì)內(nèi)生產(chǎn)的所有最終產(chǎn)品和服務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值。GDP常常被認(rèn)為是對(duì)經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)狀況的最佳衡量指標(biāo)。GDP的目的是用一個(gè)單一的數(shù)字來(lái)匯總所有數(shù)據(jù)，它代表了某一給定時(shí)期經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的貨幣價(jià)值。在GDP核算過(guò)程中，包括四部分內(nèi)容：消費(fèi)、投資、政府購(gòu)買(mǎi)和進(jìn)出口。消費(fèi)有家庭在產(chǎn)品與服務(wù)商的支出構(gòu)成；投資由為未來(lái)使用而購(gòu)買(mǎi)的產(chǎn)品構(gòu)成；政府購(gòu)買(mǎi)是政府購(gòu)買(mǎi)的產(chǎn)品和服務(wù)；凈出口是一國(guó)賣(mài)給其他國(guó)家的產(chǎn)品與服務(wù)的價(jià)值減去外國(guó)賣(mài)給該國(guó)的產(chǎn)品與服務(wù)的的價(jià)值。

在市場(chǎng)機(jī)制的作用下，長(zhǎng)期中的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)會(huì)呈現(xiàn)一定的趨勢(shì)規(guī)律，使得某一國(guó)家或者某一區(qū)域的GDP具有一定的可測(cè)性。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值既能反映某個(gè)經(jīng)濟(jì)體的周期性變化，即經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)與誰(shuí)退，同時(shí)可以反映出經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的幅度。本文擬應(yīng)用甘肅省2008-2016年季度GDP數(shù)據(jù)，對(duì)趨勢(shì)變量和季節(jié)虛擬變量進(jìn)行回歸，引入ARMA模型來(lái)反映GDP的動(dòng)態(tài)變化，并利用該模型對(duì)2017年的季度GDP預(yù)測(cè)。最后通過(guò)淺析甘肅省經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)及其發(fā)展變化給出政策建議。

二、方法介紹

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），即自回歸移動(dòng)平均模型，是研究時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型（簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型）與移動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱(chēng)MA模型）兩種最基本的模型結(jié)合起來(lái)，就產(chǎn)生了自回歸移動(dòng)平均模型。由于ARMA模型只是解釋時(shí)間序列自身變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，不考慮其他相互因素的變動(dòng)，只要掌握了模型識(shí)別的關(guān)鍵步驟，該預(yù)測(cè)方法借助統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較簡(jiǎn)單。該預(yù)測(cè)方法的缺陷是未考慮其他因素的影響即沒(méi)有自變量與因變量之間的因果關(guān)系，只是通過(guò)實(shí)踐序列自身的變化規(guī)律及趨勢(shì)預(yù)測(cè)。

ARMA模型的三種基本形式：

（一）自回歸模型AR（p）

上式模型為p階自回歸模型，記為AR(p)，其中c為常數(shù)，αt為自回歸參數(shù)，隨機(jī)誤差項(xiàng)εt是均值為0，方差為σ2的白噪聲序列。

（二）移動(dòng)平均模型MA（q）

上式模型為q階移動(dòng)平均模型，記為MA(q),其中c為常數(shù)，θi為移動(dòng)平均參數(shù)，是模型的待估計(jì)參數(shù)。εt是均值為0，方差為σ2的白噪音過(guò)程。

（三）自回歸移動(dòng)平均模型ARMA（p，q）

上式模型為（p,q）階自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)其中c為常數(shù)，αt和θi分別為自回歸參數(shù)和移動(dòng)平均參數(shù)。εt是均值為0方差為σ2的白噪聲序列。

將上面的三個(gè)式子寫(xiě)成滯后算子的表示形式為：

滯后算子多項(xiàng)式需滿足：

從上述關(guān)系可得，自回歸AR（p）模型和移動(dòng)平均MA（q）模型均是 ARMA（p，q）模型的特例。

三、實(shí)證分析

（一）初始模型建立

1.原始數(shù)據(jù)。2008-2016年GDP季度數(shù)據(jù)時(shí)序如圖1所示（單位：億元）。

圖1 GDP時(shí)序圖

通過(guò)時(shí)間序列圖，可以明顯得出該時(shí)間序列具有一個(gè)整體向上的線性趨勢(shì)，同時(shí)通過(guò)時(shí)序圖可以判斷出原時(shí)間序列具有明顯的季節(jié)性。結(jié)合他人的研究經(jīng)驗(yàn)，季度GDP均表現(xiàn)出明顯的積極性，因此判斷2008—2016年甘肅省GDP季度數(shù)據(jù)為一非平穩(wěn)時(shí)間序列。

2.原始數(shù)據(jù)處理。由于原始GDP季度序列有很強(qiáng)的趨勢(shì)成分和季節(jié)成分，因此數(shù)據(jù)處理的目的是消除趨勢(shì)以及進(jìn)行季節(jié)性調(diào)整。

圖2 消除季節(jié)因素的GDP時(shí)序圖

圖3 去除季節(jié)因素的GDP對(duì)數(shù)序列

對(duì)圖2消除季節(jié)因素的GDP取對(duì)數(shù)，得到結(jié)果，如圖3所示。

通過(guò)對(duì)圖2及圖3，發(fā)現(xiàn)序列是有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列，運(yùn)用差分法嘗試消除趨勢(shì)，使其平穩(wěn)。對(duì)取對(duì)數(shù)之后的序列進(jìn)行一階差分，得到新的序列如圖4所示。

圖4 GDP對(duì)數(shù)一階差分時(shí)序圖

3.實(shí)證結(jié)果。根據(jù)AIC最小準(zhǔn)則對(duì)其建立ARMA（1，2）模型，即運(yùn)用eviews6.0得出實(shí)證結(jié)果，如圖5所示：

圖5 DLNGDP 的 ARMA（1，2）過(guò)程估計(jì)

得到回歸方程如下：

預(yù)測(cè)擬合圖如圖6所示，

圖6 殘差值、實(shí)際值和預(yù)測(cè)值

對(duì)DLNGDP殘差序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)：

圖7 殘差A(yù)DF檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖7所示，殘差序列是平穩(wěn)的，在1%、5%、10%的顯著性水平下均能拒絕原假設(shè)，殘差序列不存在相關(guān)性。

（三）預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖8所示

圖8 DLNGDP的一階差分預(yù)測(cè)序列

四、結(jié)論

（一）經(jīng)濟(jì)解釋

利用ARMA模型對(duì)甘肅省季度GDP進(jìn)行了實(shí)證，預(yù)測(cè)及擬合。通過(guò)ARMA模型可以得到，在對(duì)甘肅省2008—2016年季度GDP進(jìn)行回歸后，模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)際中核算的GDP能夠很好的擬合，對(duì)甘肅省季度GDP的增長(zhǎng)規(guī)律有了進(jìn)一步的探索和發(fā)現(xiàn)。

（二）對(duì)于甘肅省經(jīng)濟(jì)發(fā)展的建議。

1.根據(jù)甘肅省各地區(qū)差異，尋找適合區(qū)域發(fā)展的獨(dú)有主題功能區(qū)。各地區(qū)的主體功能區(qū)協(xié)調(diào)發(fā)展，合理統(tǒng)一地推動(dòng)全省經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展。

2.貫徹落實(shí)中央、甘肅省“十三五”規(guī)劃，持續(xù)推進(jìn)西部大開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略。提升城鎮(zhèn)化建設(shè)速度，實(shí)現(xiàn)農(nóng)村富余勞動(dòng)力向城鎮(zhèn)化建設(shè)的轉(zhuǎn)移。在大力發(fā)展鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)，積極鼓勵(lì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)私營(yíng)企業(yè)的發(fā)展，擴(kuò)大農(nóng)村勞動(dòng)力需求，實(shí)現(xiàn)規(guī)?；r(nóng)業(yè)生產(chǎn)，提高農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)化水平。

3.加強(qiáng)人文素質(zhì)教育，進(jìn)一步建設(shè)教育基礎(chǔ)設(shè)施，尤其是邊遠(yuǎn)山區(qū)和少數(shù)民族聚居地區(qū)的文化教育，大力發(fā)展職業(yè)教育，大量培養(yǎng)技術(shù)型人才。針對(duì)科技密集型企業(yè)要鼓勵(lì)引進(jìn)和培養(yǎng)科研、創(chuàng)新人才，使人力資本有效的轉(zhuǎn)換為生產(chǎn)技術(shù)的革新。提高整體人口人文科學(xué)素質(zhì)，為經(jīng)濟(jì)持續(xù)良好發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。