把握核心概念建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——《單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)》教學(xué)與思考

鮑善軍

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版四年級上冊。

【教學(xué)過程】

一、談話：直接引入

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起要研究的是解決問題。

二、探究：解決問題

1．初步探究，感知購物問題中的數(shù)量關(guān)系。

出示例4（1）主題圖：籃球每個(gè)80 元，買3 個(gè)要多少錢？

師：你能解決這個(gè)問題嗎？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視）

生：80×3=240（元），答：買3個(gè)要240 元。

師：回答很完整，這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

師：你是怎么想的？說說你的思考方法。

生：我是這樣想的：每個(gè)籃球80 元，買了3 個(gè)，要求一共多少錢。就用每個(gè)籃球的價(jià)錢乘以買的個(gè)數(shù)，積就等于一共的錢數(shù)。

師：你們聽明白了嗎？誰能復(fù)述一遍？

【說明：選取教材中的問題情境，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，感受“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的乘法背景，初步感知其中的含義。】

2．展開探究，理解生活情境中的數(shù)量關(guān)系。

師：剛才，我們解決3 個(gè)籃球的總錢數(shù)問題時(shí)，是用每個(gè)籃球的80 元乘以買了3 個(gè)。

師：那么，在我們?nèi)粘Ｉ钪校?0×3 還能解決哪些問題？請自己編一道用80×3 解決的應(yīng)用題。

根據(jù)學(xué)生回答，適時(shí)提醒，并有意識地分類板書：

（1）每組有80 人，3 組一共多少人？每組有3 人，80 組一共多少人？

（2）每個(gè)80 元，買3 個(gè)要多少錢？每個(gè)3 元，買80 個(gè)要多少錢？

（3）每小時(shí)行駛80 千米，3小時(shí)一共行駛多少千米？每分鐘行駛3 千米，80 分鐘一共行駛多少千米？

（4）每分鐘生產(chǎn)80 個(gè)零件，3分鐘生產(chǎn)多少個(gè)零件？每分鐘生產(chǎn)3 個(gè)零件，80 分鐘生產(chǎn)多少個(gè)零件？

……

師：看來，根據(jù)80×3 這個(gè)算式可以編出很多很多的應(yīng)用題，如果老師讓你們一直這樣編下去，你們的感覺是？

生：（笑）太累了，而且寫不完。

師：寫不完，可以用什么來表示？

生：省略號。

統(tǒng)計(jì)學(xué)處理 采用Epidata 3.0建立數(shù)據(jù)庫，SPSS 24.0進(jìn)行數(shù)據(jù)整理與分析，知曉率組間比較的假設(shè)檢驗(yàn)采用χ2檢驗(yàn)、知曉率相關(guān)因素的多因素分析采用非條件Logistics回歸分析，P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。定性訪談資料采用歸納總結(jié)的方法進(jìn)行整理分析。

師：其實(shí)，我們還可以用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分類。

師：分類之前，我們一定要先確定好分類的什么？

生：先確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)。

師：按照什么標(biāo)準(zhǔn)來分，這個(gè)很重要。否則，就容易分亂了。

生：我想這樣分，用錢買東西的一類，行駛路程的一類，生產(chǎn)零件的一類。

師：你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生：我也說不清楚，就是覺得可以這樣來分。

生：我認(rèn)為分類標(biāo)準(zhǔn)是生活中的問題情境，買東西的可以叫做購物問題，行駛路程的叫做……

生：我來補(bǔ)充，行駛路程的叫做行程問題，生產(chǎn)零件的叫做工作問題。

師：那么，第一種情況“每組有80 人，有3 組一共多少人？”就是乘法應(yīng)用題的一般問題。

（板書：一般問題）

師：同桌交流，說一說自己編的應(yīng)用題屬于黑板上的哪一類問題？

【說明：通過編應(yīng)用題，讓學(xué)生明白“用80×3 還能解決哪些問題”，把“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”置于乘法應(yīng)用題的大背景中，在整體認(rèn)知中進(jìn)一步感知含義。】

3．深入探究，理解“單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)”之間的關(guān)系。

師：在乘法應(yīng)用題的一般問題中，每組80 人是指什么？3 組是指什么？用到了哪個(gè)常見的數(shù)量關(guān)系？

生：每組80 人是每份數(shù)，3組是份數(shù)，數(shù)量關(guān)系是：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

師：那么，在乘法應(yīng)用題的特殊問題中又有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？我們繼續(xù)來研究。

出示例4（2）主題圖：魚每千克10 元，買4 千克要多少錢？

師：先想一想，這是屬于哪一類問題？請獨(dú)立解決。

（學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視）

生：這是購物問題。10 元是每千克魚的價(jià)錢，4 是買了多少千克。10×4=40（元）。答：買4 千克魚要40 元。

師：這兩個(gè)問題中的數(shù)學(xué)信息有什么共同點(diǎn)？

生：都是購物問題。

生：都是已知每個(gè)商品或每千克商品的價(jià)錢和買了多少，求一共的錢數(shù)。

師：像這樣，“每個(gè)籃球的價(jià)錢”“每千克魚的價(jià)錢”都是指單位數(shù)量商品的價(jià)錢，叫做單價(jià)。什么叫做單價(jià)，我們一起讀一讀。

師：你能舉例說明什么是單價(jià)嗎？

（學(xué)生舉例）

師：是的，這些都是指商品的單價(jià)。請同學(xué)們拿出數(shù)學(xué)書，看看封底，數(shù)學(xué)書的單價(jià)是多少？

生：是7.43 元。

師：每個(gè)籃球的價(jià)錢、每千克魚的價(jià)錢，還有生活中每本書的價(jià)錢、每張桌子的價(jià)錢、每噸水的價(jià)錢、每套衣服的價(jià)錢等等，都是單位數(shù)量商品的價(jià)錢，也就是商品的單價(jià)。買了多少，叫做數(shù)量。一共用的錢數(shù)，叫做總價(jià)。

師：我們來找一找黑板上這些購物問題中的單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)。

師：從上面的例子中，你們發(fā)現(xiàn)單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)之間有著什么樣的關(guān)系？你能用一個(gè)等式來表示嗎？

生：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

師：單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)三個(gè)數(shù)量之中，已知單價(jià)和數(shù)量，可以求出總價(jià)。那么，已知其他兩個(gè)量，怎樣求出第三個(gè)量？

生：已知單價(jià)和總價(jià)，求數(shù)量：總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量。

生：已知數(shù)量和總價(jià)，求單價(jià)：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)。

師：同桌交流：選擇屏幕上兩道問題中的一個(gè)問題，改編成一道“求單價(jià)或數(shù)量”的應(yīng)用題，一個(gè)說，另一個(gè)判斷：已知什么和什么，求什么。

【說明：把握“單價(jià)”這一核心概念，在兩個(gè)具體生活情境的比較中歸納并抽象出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的含義，建構(gòu)基本模型。再通過改編應(yīng)用題，讓學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，對數(shù)學(xué)模型建立完整的認(rèn)知。】

三、應(yīng)用：固學(xué)練習(xí)

1．解決問題，并說說：已知（ ）和（ ），求（ ）。

（1）每套校服120 元，買5 套要用多少錢？

（2）學(xué)校買了3 臺同樣的復(fù)讀機(jī)，花了420 元，每臺復(fù)讀機(jī)多少元？

（3）小足球每個(gè)30 元，用75元可以買幾個(gè)小足球？

2．知識關(guān)聯(lián)，理解常見數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系。

師：剛才我們運(yùn)用單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系解決了實(shí)際問題。那么，單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)與一般問題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較，你能用（ ）相當(dāng)于（ ）來說一說嗎？

生：單價(jià)相當(dāng)于每份數(shù)，數(shù)量相當(dāng)于份數(shù)，總價(jià)相當(dāng)于總數(shù)。

生：我還知道單價(jià)相當(dāng)于速度，數(shù)量相當(dāng)于時(shí)間，總價(jià)相當(dāng)于路程。

師：我們學(xué)習(xí)了一般的乘法問題，今后我們還會學(xué)習(xí)到其他的特殊問題，應(yīng)用到更多的特殊數(shù)量關(guān)系，它們與一般的“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系都有著非常密切的聯(lián)系。

【說明：應(yīng)用模型解決實(shí)際問題之后，進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)，溝通起常見數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，并發(fā)現(xiàn)“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”數(shù)量關(guān)系與乘法一般問題中的“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”本質(zhì)相同，在整體認(rèn)知中建立數(shù)學(xué)模型。】

四、回顧：總結(jié)提升

師：這節(jié)課，我們是怎樣學(xué)習(xí)的？你有哪些收獲或感受？

【課后反思】

鄭毓信教授指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，并非是指想得更快、能夠與眾不同，而是指我們?nèi)绾未偈箤W(xué)生積極地進(jìn)行思考，并逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”《單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)》如果僅從問題解決的角度而言，即使課堂上不教學(xué)，學(xué)生照樣可以解決問題。為此，筆者并沒有照本宣科，簡單處理，而是把握“單價(jià)”這一核心概念，將其置于乘法應(yīng)用題的大背景中，結(jié)合學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，尋找到更多的相似模型，由簡到繁；再在觀察比較眾多生活情境問題之后，通過知識關(guān)聯(lián)“（ ）相當(dāng)于（ ）”，明白這些數(shù)量關(guān)系雖然名稱不同，但關(guān)系本質(zhì)相同，由繁到簡，在深度學(xué)習(xí)中幫助學(xué)生提升經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)從“生活經(jīng)驗(yàn)的理解”到“數(shù)學(xué)含義的理解”的過渡。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基于生活，又高于生活；課堂教學(xué)基于教材，卻不能限于教材。讓學(xué)生在整體認(rèn)知中經(jīng)歷將生活中的具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，并經(jīng)歷將抽象的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于解決具體問題的過程，由此建立的模型化的數(shù)學(xué)思想方法，將會使學(xué)生印象深刻，也正是學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力。我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生構(gòu)建這種學(xué)生需要的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，讓不可或缺的課堂學(xué)習(xí)更有意義、更有價(jià)值。