運用反證法，構(gòu)建實效初中數(shù)學課堂

江蘇省海門市開發(fā)區(qū)中學 劉 波

反證學習法恰好與學生學習過程中的正向思維方式相反，它是由果推因的一種學習模式，對培養(yǎng)學生逆向思維能力有著很好的推動作用。在數(shù)學課堂學習中，教師可以結(jié)合具體數(shù)學問題，引導(dǎo)學生運用反證法來解決問題，以更好地鍛煉學生數(shù)學思維，促進學生全面發(fā)展。

一、巧用反證法，培養(yǎng)學生數(shù)學思維

數(shù)學思維博大精深，逆向思維是數(shù)學思維的一種，也是初中生必備的一項技能，它需要學生改變自己傳統(tǒng)思維模式，更加靈活地思考、探究。作為教師，應(yīng)注重培養(yǎng)學生的思維能力，讓學生能夠更好地發(fā)展。在數(shù)學課堂教學中，教師可以巧妙地設(shè)計一些數(shù)學問題，讓學生能夠運用反證法解決問題，進而更好地活躍學生學習思維，促進學生深入思考。

例如：在教學“二次根式”時，教師在引導(dǎo)學生學習了無理數(shù)的知識內(nèi)容后，向?qū)W生提出一個問題：證明是一個無理數(shù)。學生在拿到這一問題后開始分析、思考，想到無理數(shù)的知識，無限不循環(huán)小數(shù)是一個無理數(shù)，要想證明這個數(shù)是一個無理數(shù)，只需要證明它是一個無限不循環(huán)小數(shù)即可，但學生卻在思考了一定時間后，發(fā)現(xiàn)直接證明它是一個無限不循環(huán)小數(shù)有點困難，一時之間不知道該如何思考。此時，教師引導(dǎo)學生從相反的方向思考這一問題，讓學生逆向思考。于是，學生試著假設(shè)不是無理數(shù)，也就是說是一個有理數(shù)。如果最后證明的結(jié)果與自己的假設(shè)相矛盾，那就說明是一個無理數(shù)，隨后學生們開始證明思考。學生也在思考探究的過程中，發(fā)現(xiàn)這樣反著證明顯得很簡單，從中很好地體驗到反證法的價值。

在數(shù)學課堂教學中，教師引導(dǎo)學生運用反證法解決數(shù)學問題，讓學生可以有機會換思維思考數(shù)學問題，這種學習模式很好地活躍了學生的數(shù)學思維，促進了學生高效發(fā)展，也讓學生在學習與應(yīng)用之中感受到數(shù)學思想的價值與魅力，達成輕松學習、巧妙突破的效果。

二、巧用反證法，提升學生解題效率

一些數(shù)學問題有著多種不同的方法去解決，并不是一成不變的，它具有很強的靈活性。作為教師，應(yīng)更多地引導(dǎo)學生換思維思考問題，靈活學生的思維。而反證法學習方式對活躍學生數(shù)學思維意義重大，在數(shù)學課堂教學中，教師可以在學生解決問題時適時地運用反證法，以更新學生解題思路，更好地提升學生的解題效率。

例如：在教學“圖形與證明”時，教師為學生們設(shè)計一道數(shù)學練習題：用反證法證明一個三角形的三個外角中至多有一個外角是銳角。隨后，學生開始先給出假設(shè)，但其中“至多有一個”一詞需要一番考量。這時，有學生想到“至多有一個”相對應(yīng)的是“至少有兩個”，于是，學生給出了假設(shè)：一個三角形的三個外角中，三個外角至少有兩個是銳角。之后，根據(jù)自己的假設(shè)開始思考分析。很快便有學生根據(jù)外角的一些性質(zhì)，得出一個外角的度數(shù)等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)和。利用這一知識點，將三角形三個外角全部由三角形三個內(nèi)角表示了，最后得出的結(jié)果是三個外角和恰好等于兩個三角形內(nèi)角和360°。如果三個外角至少有兩個外角的度數(shù)小于90°，則三個外角和將不再是360°。這樣的探究結(jié)果與事實相矛盾，于是，學生得出自己假設(shè)不成立，也就是原語句成立，很好地解決了這一數(shù)學問題。

在數(shù)學課堂教學中，教師指導(dǎo)學生運用反證法解決數(shù)學問題，很好地開啟了學生的數(shù)學思路，提升了學生的解題正確率，并有效地提升了學生學習成就感，推動學生進一步參與思考，有力地促進學生內(nèi)在參與度的提升，引領(lǐng)學生在數(shù)學學習中的可持續(xù)發(fā)展和提升。

三、運用反證法，推動學生有效發(fā)展

反證法是學生重要的學習方式之一，它的運用能夠有效地鍛煉學生推理能力，開闊學生的數(shù)學視野，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。在數(shù)學課堂教學中，很多數(shù)學問題正向思考很難解決，如果逆向思考會顯得簡單一些。由此，教師在教學中可以有效地引導(dǎo)學生運用反證法思考數(shù)學問題，以充分激活學生數(shù)學思維，促使學生有效發(fā)展。

例如：在教學“勾股定理”時，教師在課堂學習中為學生們設(shè)計了一道數(shù)學題：求證在一個三角形ABC中，如果角C不為90度，那么a2+b2≠c2。學生們在教師給出問題后都紛紛進入思考中，很多學生發(fā)現(xiàn)直接證明很難得出最后的結(jié)果，于是，教師引導(dǎo)學生換思維思考問題，運用反證法來思考這一問題。有學生提出假設(shè)：在一個三角形ABC中，如果角C的度數(shù)不是90°，那么a2+b2=c2。之后，學生開始根據(jù)題意開始思考分析，畫出一個相應(yīng)的三角形，并標記好相對應(yīng)的字母符號，三邊分別為a、b、c，三邊所對應(yīng)的角分別是∠A、∠B、∠C。之后進入思考中，在反向思考的過程中，學生也找到了思維的突破口，充分感受到這種逆向思考的優(yōu)勢，顯得這一數(shù)學問題更加簡便、易懂，解決起來更加簡單、準確。

在這一教學案例中，教師引導(dǎo)學生利用反證法解決數(shù)學問題，將復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡單、形象化，讓學生更便于思考、學習，很好地促進了學生深入思考與分析，對比與突破，在有效解決原有問題的基礎(chǔ)上提升了學習效率，突破了思維瓶頸，提升了學習能力。

總之，反證法是一種有效的解題方式之一，它使學生的數(shù)學思維變得更加靈活，將復(fù)雜的知識變得有理可循，很好地開拓了學生的思維空間，讓學生能夠多角度思考、探究問題。在今后的初中數(shù)學課堂教學中，教師要善于引導(dǎo)學生運用反證法思考數(shù)學問題，以充分發(fā)展學生的思維，促進學生高效發(fā)展。