分數階微積分在圖像增強中的應用研究

郭金峰

[摘? ? ? ? ? ?要]? 分數階微積分與傳統的整數存在形式微積分定理有著較大差異。分數階微積分不同于普通的數學知識，分數階微積分在圖像增強中發揮著較大的作用。在圖像邊緣紋路處理工作開展過程中，為了能夠提高圖像處理工作的效果，分數階微積分在圖像處理中的應用越來越廣泛。針對分數階微積分在圖像增強中的應用進行了研究。

[關? ? 鍵? ?詞]? 分數階微積分;圖像增強;應用

[中圖分類號]? O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）31-0258-02

圖像是記錄和傳遞信息的重要方式，由于受多種原因的影響，在圖像傳遞過程中圖像的清晰度以及質量會逐漸下降，這就導致人們在多次傳遞圖片進行分析時帶來一定困難。所以，在這種情況下圖像增強就成為圖像處理的重要組成部分。大部分情況下導致圖像難以識別是因為圖像的邊緣和紋理等細節信息被破壞，引起視覺模糊，從而導致人們認不清圖像中的內容。為了使人們能夠重新接受受損圖片的信息，擴大圖像中物體的特征，需要利用分數階微積分對其進行計算，以此實現圖像增強。

一、分數階微積分在圖像增強中的應用研究背景

在此之前，人們提出了很多的圖像增強算法，比如以直方圖為基礎對圖片進行增強，或者以空域為基礎進行計算，但是基于空域的傳統整數階微分方法增強圖形的文理信息，最終微分結果為零，這種形式的計算根本無法實現圖像增強。

就現階段狀況來看，分數階微積分理論能夠很好地實現圖像增強，所以說分數階微積分能夠從更深程度對圖像進行計算。通過對分數階微分的相關理論分析，我們發現在對一些數據信號進行分數階微分運算過程中，當最終結果小于1時，能夠實現圖像增強。能夠出現的原因在于當微分階次小于1時，信號的高頻分量會得到提升，低頻分量的信號也能夠得到加強，與此同時，信號的甚低頻沒有出現大幅度衰退現象。由于微分階次小于1，所以在實現圖像去噪的過程中保留了圖像原來的邊緣和紋理，這些細節信息的保留使得圖像能夠將原來的信息顯現出來，從而實現圖像增強。分階微積分在圖像增強中的應用研究中，重點在于分數階次以及模板窗口大小，不同的分數模板窗口可以劃分為不同的小模板，通過計算得出職工心像素點周圍四個方向的加權和的最大值作為該中心像素點的增強值，這樣就能夠增強圖像的邊緣信息和紋理細節，從而加強原圖像的細節信息，實現圖像增強。

二、圖像增強技術概述

對于一個人來說，視覺是其接收和傳遞信息的主要通道之一。而當人通過視覺接收信息時大多數情況下是通過圖像對其進行接收。但是在通過圖像接收信息時我們會發現很多圖像在傳輸過程中會受到不同程度的損壞，從而導致很多圖像由于對比度不夠、清晰度不夠等問題無法實現信息的傳達。這使人們無法通過圖像接收實際生活中的一些信息，而圖像增強處理很好地解決了這一問題，這使圖像增強處理逐漸受到了越來越多的關注。

圖像增強指的是通過一些技術手段對原圖的信息進行變換，針對圖像職工的內容將其中感興趣的部分凸顯出來，改善圖像質量，使其中的信息充分展現出來，以此達到改善圖像的視覺效果的目的，從而充分地實現圖像增強。在改善原圖像信息過程中大多是對圖像邊緣的信息進行增強，通過圖像銳化實現圖像增強。近年來，對分數階微積分的研究逐漸增多，因此分數階微積分逐漸被應用到了數字圖像處理當中，并且受到了越來越多的關注。

三、圖像增強的應用

分數階微積分在圖像增強中的應用研究之所以受到越來越多的重視，最主要的原因在于圖像增強的應用越來越廣泛，并且圖像增強的應用價值正在不斷提高，涉及領域也在不斷擴大。（1）軍事公安方面，圖像增強技術在很多案件中被用作證據識別，或者是通過圖像增強技術改善證據視頻的清晰度。除此之外，圖像增強還能夠應用到指紋的圖像增強中，這對促進案件的進展有非常大的作用。（2）大氣科學，在氣象觀測過程中會受到霧霾或者惡劣天氣的影響，這種情況下就可以利用圖像增強技術對衛星圖像進行增強，恢復圖片的清晰度。（3）天文學，在天文學研究過程中難免會遇到光線污染，針對這種情況需要通過圖像增強技術對圖像進行銳化，增強對比度。（4）幫助視障人士，一些能夠有效提高圖片和影像的圖像增強技術能夠幫助視障人士觀看視頻，提高其面部識別能力。（5）文物修復，很多歷史文物經過千百年的時間會出現一些損壞，相關工作人員就可以利用圖像增強技術對其進行恢復。尤其是歷史繪畫，可以通過圖像增強的方式對繪畫進行修復，有利于歷史文物的傳承。

四、分數階微積分的基本概念界定

（一）分數階微積分的基本概念界定

就當前的狀況來看，數學研究者并沒有針對分數階微積分給出一個明確的定義，這就導致很多學者在研究分數階微積分過程中會從各個不同的角度進行研究，因此最終的概念界定會存在較大差別。通過總結我們發現在世界范圍內有關分數階微積分提出的研究主要有三種存在形式，GL微積分概念定義形式、RL微積分基本概念的界定以及CP基本微積分構成，這三種分數階微積分是目前來看應用頻率較高的分數微積分概念的界定方法。

（二）分數階微積分方程式的分類

由于分數階微積分概念存在較多不同，所以在實際運算過程中能夠供人實用的計算方式多種多樣。在眾多計算方程式之中將時間分數階參數作為參照依據組建而成的方程式相對較為特別。與傳統微積分方程式的構成模式相比較而言，這種微積分方程的框架能夠更好地處理時間與空間數據，能夠更好地應用到圖片增強當中。新型微積分計算方式適當融合了熱傳導以及流線傳導數據的統計，能夠促進分數階微積分在圖像增強中的應用。

五、分數階微積分在圖像處理中的應用

（一）數字圖像增強

分數階微積分對圖像的增強方式就是對其空間域進行增強，空間域并不是單純指人類生活的空間，而是指圖像平面所在的二維空間。空間與圖像增強指的是利用數學模型改變圖像像元灰度值，此種增強方式能夠增強圖片的清晰度但并不會改變像素的位置。空間域增強指的是空間變換增強以及空間濾波增強。

1.空域變換增強

在空域變換增強中有三種主要的增強方式：對比度增強、直方圖增強和圖像算數運算。首先，對比度增強指的是通過改變圖像原來的亮度分布轉光來實現，主要是擴展灰度分布器件以及改變圖像各個位置像元的對比度，以此來實現圖像增強。在對比度增強過程中常用的一種方式是對比度線性變換和非線性變換。另外一種是直方圖增強，直方圖增強可分為直方圖均衡化和直方圖規定化兩種形式。其中直方圖均衡化是將圖像的灰度區間利用概率分布代替原來的隨機分布，從而使圖像不同灰度之間的像元數目保持相似。直方圖均衡化能夠增強地物細節，減少灰度等級對比度的增大。而直方圖規定化是將原圖像的直方圖變換成一種指定形式，之后按照已知的形態進行調整。這種方法需要有一幅正常的圖像作為標準，從而實現圖像增強。

2.空域濾波增強

通過應用分數微積分圖片處理工作人員能夠通過計算構建濾波器件，濾波器件的構建很大程度上提高了圖像處理工作的實踐性。假設二維圖像信號的形式為A（x，y）對X和Y軸方向的分數階微分在一定條件之下它們是可以分離的。這一狀況就代表著分數階微積分能夠利用算子對數字圖形的各個方向進行濾波處理，在利用濾波器件處理完這些信息后，可以將中間的結果進行有規則的結合，通過結合改善圖像原有的數據，進一步實現圖像的增強。

（1）梯度法

圖像的梯度指的是像元灰度的亮度變化，圖像的邊緣一般具有較大的梯度值。對于亮度值變化較小的部分梯度值也會較小，所以找到梯度值較大的區域就能夠找到圖像的邊緣。對邊緣地帶的梯度值進行計算以此替代邊緣的像元值，從而實現圖像的銳化。

（2）拉普拉斯算法

這種方式與梯度法存在較大的差異，拉普拉斯算法注重變化率，相當于二階微分，利用這種方式檢測出的圖像能夠更加突出亮度值的變化位置。

（3）定向檢測

在對圖像進行有目的的檢測時，可以根據圖像的邊線即文理特征選擇特定的模板進行定向檢測，利用不同的模板進行檢測可以達到檢測圖像垂直邊界、水平邊界以及角線邊界的目的，這對實現圖像增強有著很大的影響作用。

（二）圖像頻域性質

一般情況下圖像主要分為兩種形式，一種是根據人類需要人類自己制造的圖像，還有一種則是自然圖像。自然界圖像中的大部分圖像都屬于低頻圖像，所以在利用分解微積分設計分數微分器的頻譜時過低頻部分與理想頻譜越接近那么相對的圖像增強的效果也會越來越好。在觀察頻譜過程中可以尋找一些圖像作為對比。

如圖中彩色照片的頻譜我們可以看出其中低頻分布較多，大部分情況下以自然風光為主的圖像都屬于低頻較多，但是也不乏自然圖像中高頻較多的圖像。另外，也存在高頻較多的圖像。分數微分器在對圖像的頻率進行響應過程中屬于在低頻部分能夠與理想的分數微分器頻率響應較為接近，對應的分數微分器在高頻部分存在的誤差會比較大。

（三）RGB色彩空間圖像增強

利用分數階微分模板使用RGB的色彩空間對圖像進行處理，利用RGB三個分量分別對圖像進行處理，之后再分別加入原圖的這三個分量中。在實際的處理中我們會發現隨著不同階次微分的處理，階數的增加會增強圖像的退化效果，圖像的細節會更加清楚，但是當結束大于0.5之后，圖像的強度會逐漸減小。

六、結語

綜上所述，分數階微積分在圖像增強中的應用越來越廣泛，即使如此，我們也不應該放松，還需要不斷對分數階微積分進行研究，通過研究發現更多圖像增強的方法，從而促進分數階微積分的發展，使其不僅能夠在圖像增強中發揮作用，還能夠在更多的地方發揮應有的功能。

參考文獻：

[1]劉峰瑞.基于自適應分數階階次的圖像增強和圖像匹配[D].南昌：南昌航空大學，2017.

[2]楊卓東.分數階微積分在圖像處理中的算法研究與改進[D].貴陽：貴州大學，2017.

[3]譚禮健.基于階數自適應的分數階偏微分方程的圖像去噪與增強研究[D].重慶：重慶郵電大學，2017.

[4]孫曉旭.基于分數階微積分的圖像去噪和圖像配準方法研究[D].南昌：南昌航空大學，2016.

編輯 武生智